Sau đây mình xin giới thiệu hai bài toán tổng quát của thầy Trần Quang Hùng trên AoPS. Mình vừa mới giải xong tại link sau:
http://www.artofproblemsolving.com/F...37287#p2737287.
Dịch cái đề ra tiếng Việt cho tiện, mời các bạn cùng giải thử:
1. Cho $J$ là một điểm trên phân giác góc $A$ của tam giác $ABC$. $D,E,F$ là các hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $DE,DF$ lần nữa tại $M,N$ lần lượt. $AM,AN$ cắt $BC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $D$ là trung điểm của $PQ$
2.Cho tam giác $ABC$ và một điểm $P$. Gọi $D,E,F$ là các hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $DE,DF$ lần nữa tại $M,N$ lần lượt. $AM,AN$ cắt $BC$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{PR}{PQ}=\dfrac{PE}{PF}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]