Trích:
Nguyên văn bởi conan236  Cho dãy ${x_n} $ được xác định bởi :
$x_1=3 ; x_{n+1}=\frac{x_n^3+24}{3x_n^2+8} $
CMR dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó |
lời giải ta cm $U_{n} \in (1,3) $ với mọi $n>1 $ t.v
$u_{n}^{3} + 4 = \frac{u_{n} }{2} + \frac{u_{n} }{2} + 4 >= 3u_{n}^{2} $
nên$ u_{n+1} = \frac{u_{n}^{3} + 24 }{3u_{n}^{2} + 8 }. >= \frac{3u_{n}^{2} + 20 }{3u_{n}^{2} + 8 } >= 1 $
cm $u_{n} < 3 $ theo quy nạp
$u_{n+1} <= \frac{3u_{n}^{2} + 24 }{3u_{n}^{2} + 8 } $ ( d0$ u_{n} < 3 $)
đặt $f(x) = \frac{u_{n}^{3} + 24 }{ 3u_{n}^{2} + 8 } $. nên $f'(x) = \frac{3x^{4} + 24x^{2} - 144x }{3u_{n}^{2} + 8 }<= \frac{1}{2} $
dễ thấy $f(x) = x $có 1 nghiệm thuộc (1,2) là $\alpha $
ta cm $limu_{n} = \alpha $ t.v $|u_{n+1} - \alpha | = |u_{n} - \alpha |f'(c) <= \frac{1}{2}|u_{n} - \alpha | = ... = \frac{1}{2^{n} }|u_{1} - \alpha | $ -->done
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]