[khanhphuong28]

Nguyên văn bởi NguyenThanhThi

Bài 14:Các bạn thử giải nhé

Cho $a,\,b,\,c \in \left[\frac{1}{2},\, 2\right].$ Chứng minh rằng $$(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \le \frac{27}{2}.$$

@Anh Phúc:

tại em đã xem bài này hồi lớp 10 rồi nên nhớ điểm rơi.

Trong bài toán này ta xét độc lập.
Đặt $F(a)=(a+b+c)( \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$
Ta có $F'(a)=(b+c)( \dfrac{a^2-bc}{a^2bc}), F'(a)=0 \Rightarrow a=- \sqrt{bc}, a= \sqrt{bc}$
Lập bảng biến thiên ta có $MaxF(a)=Max[F( \dfrac{1}{2});F(2)]$.
Đặt $G(b)=F( \dfrac{1}{2})=( \dfrac{1}{2}+b+c)(2+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$
$G'(b)=(2c+1)( \dfrac{2b^2-c}{2b^2c}),G'(b)=0 \Rightarrow b=- \sqrt{ \dfrac{c}{2}}, b= \sqrt{ \dfrac{c}{2}}$
Lập bảng biến thiên ta có $MaxG(b)= Max[G( \dfrac{1}{2});G(2)]$
Đặt $G_1(c)=G( \dfrac{1}{2})=4c+5+ \dfrac{1}{c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxG_1(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c=2,b= \dfrac{1}{2}, a= \dfrac{1}{2}$
Đặt $G_2(c)=G(2)= \dfrac{5}{2}c+ \dfrac{29}{4}+ \dfrac{5}{2c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxG_2(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c= \dfrac{1}{2}, b=2, a= \dfrac{1}{2}$ hoặc $c=2,b=2,a= \dfrac{1}{2}$
Đặt $H(b)= F(2)=(2+b+c)( \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$
$H'(b)=(2+c)( \dfrac{b^2-2c}{2b^2c}), H'(b)=0 \Rightarrow b=- \sqrt{2c},b= \sqrt{2c}$
Lập bảng biến thiên ta có $MaxH(b)=Max[H( \dfrac{1}{2});H(2)]$
Đặt $H_1(c)=H( \dfrac{1}{2})= \dfrac{5c}{2}+ \dfrac{29}{4}+ \dfrac{5}{2c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxH_1(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c=2,b= \dfrac{1}{2},a=2$ hoặc $c= \dfrac{1}{2},b= \dfrac{1}{2},a=2$
Đặt $H_2(c)=H(2)=c+5+ \dfrac{4}{c} \le \dfrac{27}{2}$
$MaxH_2(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c= \dfrac{1}{2},b=2,a=2$
Vậy $MaxF= \dfrac{27}{2}$ khi bộ $(a;b;c)$ là $( \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2};2);(2;2; \dfrac{1}{2})$ và các hoán vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]