Trích:
Nguyên văn bởi alentist  Bài 15:Cho $x,y,z\in [1;3]$ và thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=14$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$$ |
Alentist thân mếm
trước tiên thì mình xin đính chính là bài này dường như không giải bằng hàm.Tuy nhiên bài này cũng có cái hay là trong đoạn video anh Cẩn đã phân tích ý tưởng đoán nghiệm rất kĩ dựa trên các tính chất hàm.
Thứ hai mình xin được phép post
lời giải của anh Võ Quốc Bá Cẩn và cái video của anh ấy mà lúc trước mình đã từng xem qua bên diễn đàn toanphothong.vn
Nội dung giải bài này như sau:
Ta sẽ chứng minh $ P \ge -8$ với dấu bằng xảy ra khi $x=1,\,y=3,\, z=2.$ Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với $$\left(\frac{y}{x} -1\right) \left(\frac{z}{x}+2 \right) \le 8,$$ hay $$2 \left(\frac{y}{x}-1\right) \cdot \left(\frac{z}{x}+2\right) \le 16.$$ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$2 \left(\frac{y}{x}-1\right) \cdot \left(\frac{z}{x}+2\right) \le \left[\frac{ 2 \left(\frac{y}{x}-1\right) + \left(\frac{z}{x}+2\right)}{2}\right]^2 = \left(\frac{\frac{2y}{x} +\frac{z}{x} }{2}\right)^2.$$ Do đó, bài toán được đưa về chứng minh $$\left(\frac{\frac{2y}{x} +\frac{z}{x} }{2}\right)^2 \le 16.$$ Bất đẳng thức này có thể được viết lại thành $$\frac{2y}{x}+\frac{z}{x} \le 8,$$ hay tương đương $$2y+z \le 8x.$$ Tới đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM thêm một lần nữa, ta có $$2y+z \le 2\cdot \frac{y^2+9}{6}+\frac{z^2+4}{4} =\frac{4y^2+3z^2+48}{12} =\frac{y^2+3(y^2+z^2)+48}{12} \le \frac{9+3(14-x^2)+48}{12} =\frac{33-x^2}{4}.$$ Và ta đi đến việc chứng minh bất đẳng thức cuối cùng là $$33-x^2 \le 32x,$$ tức $$(x-1)(x+33) \ge 0.$$ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $x \ge 1.$
Vậy ta có $\min P =-8.$ $\blacksquare$
Rõ ràng sau khi nghe phân tích hướng giải thì bài toán này hoàn toàn tự nhiên.
Video phân tích ý tưởng cho lời giải:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]