Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx  Bài 1: Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì, $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)). $$ |
Từ giả thiết ta có \[\begin{array}{l}
f\left( {f\left( {a + 1} \right)} \right)& = f\left( {f\left( {0 + a + 1} \right)} \right) = f\left( 0 \right) + 2f\left( {a + 1} \right)\\
&= f\left( {\left( {1 + a} \right)} \right) = f\left( 2 \right) + 2f\left( a \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in\mathbb Z.
\end{array}\]Vậy là đặt $\frac{f(2)-f(0)}{2}=d$ thì có $d$ phải là một số nguyên, và\[f\left( {a + 1} \right) = f\left( a \right) + d,\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Từ đây ta truy toán để có\[f\left( a \right) = ad + f\left( 0 \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Do đó, hàm cần tìm có dạng $f(x)=kx+l$ với các hằng số nguyên $k,\,l$. Sau thử lại ta được $k=l=0$, hoặc $k=2$ còn $l$ thì tùy ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]