Trích:
Nguyên văn bởi Hải Thụy  Các bài toán Giải Tích 14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,a \hfill \\ {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\,\,\forall \,n\,=\,1,2,3...\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ CMR dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. |
Viết dãy số về dạng $u_{n+1}=f(u_n)$. Khi đó ta có
$$f'(x):=\dfrac{cosx-sinx}{sinx+cosx+8}.$$
Theo phương pháp điều kiện có nghiệm của dạng $a sin x+b cosx=c$
chúng ta có ngay $$-\dfrac{1}{\sqrt{31}}\le f'(x)\le \dfrac{1}{\sqrt{31}}.$$
Điều này chứng tỏ rằng $h(x):=f(x)-2000x=0,$
nếu có nghiệm nghiệm thì có cao nhất 1 nghiệm, ngoài tính liên tục. Lại có $h(1).h(2)<0$ nên có thể giả sử rằng $f(m)=2000m,\ m\in(1;2)$. Áp dụng định lý lagrange suy ra
$$|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\le \dfrac{|x-y|}{\sqrt{31}}.$$
Suy ra
$$|u_{n+1}-2000m|=|f(u_n)-f(m)|\le \dfrac{1}{\sqrt{31}}|u_{n}-2000m|\le ..... \le \left(\dfrac{1}{\sqrt{31}}\right)^n|a-2000m|.$$
Chúng ta lại có
$$\lim \left(\dfrac{1}{\sqrt{31}}\right)^n|a-2000m|=0.$$
Vậy nên ta được điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]