Trích:
| Nguyên văn bởi Hà Nội Cho các số thực dương $a,b,c$, thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất
$$P=a^3+b^3+c^3-3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right). $$ |
Ta có $$a^3+b^3-(a+b)^3/4=3/4(a-b)^2(a+b),$$
và $$-\dfrac{3}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{12}{a+b}=-\dfrac{3(a-b)^2}{ab(a+b)}.$$
Lại có nếu như giả sử $a+b\le 2$ thì
$$ a+b-\dfrac{4}{ab(a+b)}= \dfrac{ab(a+b)^2-4}{ab(a+b)}\le 0.$$
Điều này dần đến. Nếu chúng ta giả sử $a\le b\le c$ thì
$$P\le \dfrac{(a+b)^3}{4}+c^3-\dfrac{12}{a+b}-\dfrac{3}{c}=-\dfrac{21}{4}-\dfrac{3(c-2)^2(c^3+4c^2-6c+3)}{4(3-c)c}.$$
Lại có
$$c^3+4c^2-6c+3=c^3+1+2(2c-1)(c-1)\ge 2.$$
Điều này cho ta được $P_{max}=-\dfrac{21}{4}$. Đẳng thức xảy ra khi hoán vị $(a,b,c)\sim\left(1/2,1/2,2\right)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]