[Trầm]

$\fbox{Bài 1/137.}$ Ký hiệu $S(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của số tự nhiên $n$. Chứng minh rằng với mọi $n$ ta có $$\left|\sum_{k=1}^n \dfrac{S(k)}{k}-\dfrac{2k}{3}\right|<1$$

$\fbox{Bài 2/137.}$ Cho $n$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu phương trình $x^2+xy-y^2=n$ có ít nhất một nghiệm nguyên thì có vô số nghiệm nguyên.

$\fbox{Bài 3/137.}$ Cho dãy Fibonacci xác định như sau:
$u_1=1, u_2=1, u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ với $n \ge 3$.
Chứng minh rằng nếu $n$ là bội số của $k$ thì $u_n$ là bộ số của $u_k$.

$\fbox{Bài 4/137.}$ Cho $x_1, x_2, x_3$ là các nghiệm thực của phương trình $x^3+ax^2+x+b=0, b\neq 0$. Chứng minh rằng:
$$\left(x_1-\dfrac{1}{x_1}\right)\left(x_2-\dfrac{1}{x_2}\right)+\left(x_2-\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_3-\dfrac{1}{x_3}\right)+\left(x_3-\dfrac{1}{x_3}\right)\left(x_1-\dfrac{1}{x_1}\right)=4$$

$\fbox{Bài 5/137.}$ Ba góc $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện:
$$\begin{cases}0 \le x \le y \le z \le 2\pi\\
\cos x + \cos y + \cos z =0\\
\sin x + \sin y + \sin z =0 \end{cases}$$
Chứng minh rằng $x, y, z$ lập thành một cấp số cộng với công sai $\dfrac{2\pi}{3}$.

$\fbox{Bài 6/137.}$ Các số dương $A$ và $B$ phải thỏa mãn điều kiện gì để tồn tại 5 số dương $u_0,u_1,u_2,u_3,u_4$ lập thành một cấp số nhân với $$ u_0+u_4=A, u_1+u_3=B? $$

$\fbox{Bài 7/137.}$ Đặt $H(u,m,n)=\sum_{k=0}^n (-1^k)u_k^m C_n^k$ trong đó $n$ nguyên $\ge 0$, $u$ là cấp số cộng gồm $n+1$ số hạng $u_0,u_1,...,u_n$, số hạng đầu $u_0$ và công sai khác không, $C_n^k$ là tổ hợp chập $k$ của $n$.
1) Chứng minh giá trị của $H(u,m,n)$ không phụ thuộc vào cấp số cộng $u$ khi $m<n$.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$ để $H(u,m,n)$ phụ thuộc vào $u_0$.

$\fbox{Bài 8/137.}$ Cho đường thẳng $(d)$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$. Gọi $S$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $d$. Kẻ cát tuyến $SBC$ và tiếp tuyến $SA$. Gọi $M, N$ là giao điểm của $AB$ và $AC$ với $(d)$. Chứng minh $SM=SN$.

$\fbox{Bài 9/137.}$ Cho tứ diện $ABCD$. Qua trọng tâm $G$ của tứ diện ta dựng một mặt phẳng $(P)$ tùy ý. Gọi $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ là khoảng cách từ $A, B, C, D$ đến $(P)$. Chứng minh rằng một trong bốn đoạn thẳng $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ bằng tổng của ba đoạn còn lại.

$\fbox{Bài 10/137.}$ Cho một đường gấp khúc $A_1A_2...A_n$ khép kín, không đồng phẳng; các điểm $A_i$ đều thuộc mặt cầu tâm $O$, bán kính $R$ cho trước. Xét biểu thức:
$$d=\sum_{i=1}^n A_iB_i^2$$
trong đó $B_i$ là hình chiếu vuông góc của một điểm $B$ trong không gian xuống $A_iA_{i+1}$ tương ứng $(A_{n+1}=A_1)$. Tìm vị trí của $B$ để $d$ nhỏ nhất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]