Bài 5: (Ngày 2). Xét đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$, ($\alpha\in\mathbb{R}$).
- Khi $\alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
- Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để $f(x)$ viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
Lời giải: Trước hết ta có một số kết quả sau:
- $\lim\dfrac{n}{q^n}=0$ với $q>1$ cho trước.
- $\lim\dfrac{a^n}{C_{2n}^n}=0$ với mọi số thực dương $a<4$. Thật vậy, ta có $0<\dfrac{a^n}{C_{2n}^n}<\dfrac{a^n}{\frac{1}{2n}. 4^n}=\dfrac{2n}{q^n}$ với $q=\dfrac{4}{a}>1$. Suy ra $\lim\dfrac{a^n}{C_{2n}^n}=0$.
Trở lại bài toán, ta sẽ chứng minh phần $(b)$ trước. Giả sử rằng $x^2-\alpha x+1=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $P(x),Q(x)$ là hai đa thức với hệ số không âm. Từ đây suy ra $2-\alpha=\dfrac{P(1)}{Q(1)}>0$. Hay $\alpha <2$. Và đây là tất cả những số $\alpha$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi $\alpha \leq 0$ là trường hợp tầm thường (vì $f(x)=\dfrac{f(x)}{1}$). Ta chỉ xét $\alpha >0$. Do $\alpha<2$ nên $a=2+\alpha <4$. Từ tính chất $(2)$, suy ra tồn tại $n$ sao $\dfrac{(2+\alpha)^{2^{n-1}}}{C_{2^n}^{2^{n-1}}}<1$ hay $(2+\alpha)^{2^{n-1}}<C_{2^n}^{2^{n-1}}$. Xét các biểu thức $$P(x)=x^{2^{n-1}}[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2^n}-(2+\alpha)^{2^{n-1}}]$$
và
$$Q(x)=x^{2^{n-1}-1}[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2}+(2+\alpha)][(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2^2}+(2+\alpha)^2]...[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2^{n-1}}+(2+\alpha)^{2^{n-2}}].$$
Rỏ ràng $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức với hệ số không âm, đồng thời $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=x[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2}-(2+\alpha)]=f(x).$ Hay ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]