Ðề tài: Nhóm con S_n
Xem bài viết đơn
Old 20-02-2019, 10:42 PM   #2
anysu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2018
Bài gởi: 16
Thanks: 7
Thanked 0 Times in 0 Posts
Xét $n\geq 5$
Ta chứng minh $A_n$ là nhóm con chuẩn tắc thực sự duy nhất của $S_n$. Giả sử $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $S_n$, khi đó $A_n\cap H$ là nhóm con chuẩn tắc của $A_n$, mà $A_n$ đơn nên hoặc $A_n\cap H=A_n$ (dẫn tới $H=A_n$) hoặc $A_n\cap H=\{e\}$ ( dẫn tới $H=\{e\}$ hoặc $H$ sẽ chứa hoán vị chẵn khác $e$, vô lý)
Do đó ta có đpcm.
Áp dụng vào bài toán, theo định lí Caley, tồn tại $f\in Hom (S_n,S_t)$ với $Kerf \leq H$. Khi đó $f$ không thể là đơn cấu do $t<n$ hay $Kerf\ne \{e\}$ và $Kerf$ là nhóm con chuẩn tắc của $S_n$ nên $Kerf=A_n$, từ đó $t=2$ (vô lý)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
anysu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 7.18 k/8.17 k (12.14%)]