Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Một số kiến thức về hình trong các cuộc thi Olympic Toán !

trung anh · 07-08-2008, 05:36 PM

I.10) Bất đẳng thức Ptolemy

Định lý:
Cho tứ giác ABCD. Khi đó có $AC.BD \leq AB.CD + AD.BC $

Chứng minh:
Lấy E nằm trong tứ giác ABCD sao cho
$\hat{EDC}=\hat{ADB} $ và $\hat{ECD}=\hat{ABD} $
Khi đó $\Delta ABD $ ~ $\Delta ECD \Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{EC}{DC} $ hay $AB.DC=EC.BD $.
Hơn nữa $\Delta ADE $ ~ $\Delta BDC (c.g.c) \Rightarrow \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CB} $ hay $AD.CB=BD.AE. $
Vậy ta có $AB.CD + BC.AD = BD(EA+EC) \geq BD.AC $(đpcm).
Xem thêm:http://mathscope.org/forum/showthread.php?t=98

07-08-2008, 05:36 PM	#11
trung anh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2008 Bài gởi: 75 Thanks: 9 Thanked 94 Times in 26 Posts	I.10) Bất đẳng thức Ptolemy Định lý: Cho tứ giác ABCD. Khi đó có $AC.BD \leq AB.CD + AD.BC $ Chứng minh: Lấy E nằm trong tứ giác ABCD sao cho $\hat{EDC}=\hat{ADB} $ và $\hat{ECD}=\hat{ABD} $ Khi đó $\Delta ABD $ ~ $\Delta ECD \Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{EC}{DC} $ hay $AB.DC=EC.BD $. Hơn nữa $\Delta ADE $ ~ $\Delta BDC (c.g.c) \Rightarrow \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CB} $ hay $AD.CB=BD.AE. $ Vậy ta có $AB.CD + BC.AD = BD(EA+EC) \geq BD.AC $(đpcm). Xem thêm:http://mathscope.org/forum/showthread.php?t=98 thay đổi nội dung bởi: ma 29, 26-08-2008 lúc 07:09 AM