[namdung]

Và hôm nay chúng tôi gửi các bạn đề luyện tập cuối cùng, đề số 7. Đây là đề đã được sử dụng ở Tiểu trường xuân miền Nam 2018 vừa qua.

1. Trường Phù thủy và Pháp sư Hogwarts có n học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia vào nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả m câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất 2 thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trường, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu 2 câu lạc bộ nào đó có ít nhất 2 thành viên chung thì hai câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2 $.

2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOC$ và nằm trong tứ giác. Đường tròn $(K,KA)$ lần lượt cắt $ AB,AD$ tại $ M,N$ khác $A$. $(K)$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. $MN$ theo thứ tự cắt $CB, CD$ tại $ P,Q$. $KG$ cắt $ MN $tại $ J$. Chứng minh rằng $MP/NQ=JM/JN$.

3. Với dãy Fibonacci xác định bởi công thức $F_1 = 1, F_2 = 2, F_{n+1} = F_n + F_{n-1} $ xét hàm số
$f(x) = (x-F_1)(x-F_2)...(x-F_{3030})$

Giả sử trên $(F_1,F_{3030})$, hàm số $f$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=x_0$. Chứng minh rằng $x_0 > 2^{2018}$ .

4. Ban đầu trên bảng có ghi số nguyên dương $N$. Mỗi bước thực hiện, ta có thể chọn một số $a > 1$ trên bảng, xóa nó đi và ghi ra tất cả các ước số nguyên dương của $a$, trừ chính $a$ (trên bảng có thể xuất hiện các số bằng nhau). Chứng minh rằng quá trình này không thể thực hiện mãi (tức là trên bảng còn toàn số $1$) và khi trên bảng còn toàn số $1$ thì số số $1$ không quá $N^2$.

5. Trên các cạnh của lục giác lồi $ABCDEF$ về phía ngoài dựng các tam giác đều $ABC_1, BCD_1, CDE_1, DEF_1, EFA_1$ và $FAB_1$. Biết rằng tam giác $B_1D_1F_1$ đều. Chứng minh rằng tam giác $A_1C_1E_1$ cũng đều.

6. Với mỗi bộ số $x = (x_1, x_2, …, x_n)$ các tổng đối xứng sơ cấp được định nghĩa như sau$$(t+x_1)(t+x_2)…(t+x_n) = t^n + s_1(x)t^{n-1} + s_2(x)t^{n-2} + … + s_n(x).$$Cho $x = (x_1, …, x_n), y = (y_1, …, y_n)$ là hai bộ số thực dương. Chứng minh rằng với mọi $r = 2, …, n$ ta có bất đẳng thức$$ \frac{s_r(x+y)}{s_{r-1}(x+y)} \ge \frac{s_r(x)}{s_{r-1}(x)}+ \frac{s_r(y)}{s_{r-1}(y)}.$$


PS. File pdf download bên dưới.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]