Bài này giải bằng phương pháp xuống thang và phản ví dụ:
Dễ thấy $(0;0;0) $ là một nghiệm của phương trình.
Giả sử phương trình có nghiệm khác $(0;0;0) $. Đặt $(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}) $ là một nghiệm của phương trình sao cho $x_{0} + y_{0} + z_{0} > 0 $ và nhỏ nhất (theo nguyên lí cực hạn thì tồn tại một nghiệm như vậy).
Ta có: $x_{0}^{3} + 15y_{0}^{3} = 18z_{0}^{3} \Rightarrow 3 | x_{0} \Rightarrow 9(\frac{x_{0}}{3})^{3} + 5y_{0}^{3} = 6z_{0}^{3} \Rightarrow 3 | y_{0} \Rightarrow 3(\frac{x_{0}}{3})^{3} + 45(\frac{y_{0}}{3})^{3} = 2z_{0}^{3} \Rightarrow 3 | z_{0} \Rightarrow (\frac{x_{0}}{3})^{3} + 15(\frac{y_{0}}{3})^{3} = (\frac{z_{0}}{3})^{3} $
$\Rightarrow (\frac{x_{0}}{3} ; \frac{y_{0}}{3} ; \frac{z_{0}}{3}) $ là một nghiệm của phương trình.
Mặt khác: $(\frac{x_{0}}{3} ; \frac{y_{0}}{3} ; \frac{z_{0}}{3}) \neq (x_{0} ; y_{0} ; z_{0}) $ và $\frac{x_{0}}{3} + \frac{y_{0}}{3} + \frac{z_{0}}{3} > x_{0} + y_{0} + z_{0} $ (mâu thuẫn).
Cmtt với TH $< 0 $ (thay nhỏ nhất thành lớn nhất).
Vậy $(0 ; 0 ; 0) $ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Mong mọi người góp ý để hoàn thiện bài giải!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]