[Chém Gió]

Giả sử giữa $G_1 $ và $G_2 $ có $k\ge 3 $ anh chàng, giữa $G_4 $ và $G_5 $ có $q $ anh chàng, $1\le q\le 4. $ Nhóm gồm $G_1,G_2 $ và $k $ anh chàng ở giữa là $A_1, $ $G_3 $ coi như nhóm $A_2 $ và $A_3 $ là nhóm gồm $G_4,G_5 $ và $q $ anh kia. Xét $q $ bất kỳ thuộc $\{1,2,3,4\}, $ tổng số người ở các nhóm $A_1,A_2,A_3 $ là
$2+k+1+2+q=5+k+q $ người,
suy ra số người còn lại là $17-(5+k+q)=12-q-k $ và do đó $k\le 12-q. $
Dễ thấy rằng với mỗi $k $ thì số cách xếp chính bằng số nghiệm không âm của phương trình
$x_1+x_2+x_3+x_{4}=12-q-k. $
($x_1 $ là số anh chàng bên trái $A_1, $ $x_2 $ là số anh chàng ngồi giữa $A_1 $ và $A_2, $ $x_3 $ là số anh chàng ngồi giữa $A_2 $ và $A_3, $ $x_4 $ là số anh chàng bên phải $A_3 $)
Thêm nữa chú ý $k $ chạy từ $1 $ đến $12-q $ ta được tổng số cách xếp với mỗi $q $ là
$\sum_{k=3}^{12-q}{15-q-k\choose 3}=\sum_{k=3}^{12-q}{k\choose 3}. $
Cho $q $ chạy từ $1 $ cho tới $4 $ và để ý thêm số hoán vị cho $12 $ anh chàng là $12!, $ ta có đáp án của bài toán là
$12!\sum_{q=1}^{4}\sum^{12-q}_{k=3}{k\choose 3}. $
Thu gọn tổng này, ta được
$12!\cdot1161. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]