Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh Bài 7(6 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $; 2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $; 3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $. |
Làm thế này đúng không nhể??
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $
Đặt $U_n=f_n(x) $
$f_n(x)=f(f(f(..f(x)..)) $ (n cái f )
Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $
Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $
Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm
$t_1=-3; t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $
Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được
$f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $
Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $
Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]