[312cr9]

Nguyên văn bởi tuan_quangtrung

Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ có tổng bằng 3, chứng minh rằng
\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\]

Wlog $a\ge b\ge c$ và xét $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-x^2$ trên $(0;\,3)$, ta có
\[f^{"}\left( x \right) = \frac{{6 - 2{x^4}}}{{{x^4}}}\quad\forall\,x\in (0;\,3)\]
Ta xét hai trường hợp

1. Nếu $b<\sqrt[4]{3}$, theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có
   \[\begin{array}{l}
   f\left( b \right) \ge f\left( {\frac{{b + c}}{2}} \right) + \left( {b - \frac{{b + c}}{2}} \right)f'\left( {\frac{{b + c}}{2}} \right)\\
   f\left( c \right) \ge f\left( {\frac{{b + c}}{2}} \right) + \left( {c - \frac{{b + c}}{2}} \right)f'\left( {\frac{{b + c}}{2}} \right)
   \end{array}\]
   Từ đó kết hợp $a\in [1;\,3)$ để có
   \[\begin{array}{l}
   f\left( a \right) + f\left( b \right) + f\left( c \right) &\ge 2f\left( {\frac{{b + c}}{2}} \right) + f\left( a \right)\\
   &= 2f\left( {\frac{{3 - a}}{2}} \right) + f\left( a \right)\\
   &= \frac{4}{{{{\left( {3 - a} \right)}^2}}} - \frac{{{{\left( {3 - a} \right)}^2}}}{4} + {a^2} - \frac{1}{{{a^2}}}\\
   &= \frac{1}{4}\left( {a - 1} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {1 + \frac{4}{{{a^2}{{\left( {a - 3} \right)}^2}}}} \right)\\
   & \ge 0
   \end{array}\]
2. Nếu $b\ge\sqrt[4]{3}$, đặt $k = \frac{{f\left( 3 \right) - f\left( {\sqrt[4]{3}} \right)}}{{3 - \sqrt[3]{3}}}$ theo bất đẳng thức cát tuyến ta có
   \[\begin{array}{l}
   f\left( a \right) \ge k\left( {a - \sqrt[4]{3}} \right) + f\left( {\sqrt[4]{3}} \right)\\
   f\left( b \right) \ge k\left( {b - \sqrt[4]{3}} \right) + f\left( {\sqrt[4]{3}} \right)
   \end{array}\]
   Từ đó có
   \[\begin{array}{l}
   f\left( a \right) + f\left( b \right) + f\left( c \right) &\ge k\left( {a + b - 2\sqrt[4]{3}} \right) + 2f\left( {\sqrt[4]{3}} \right) + f\left( c \right)\\
   &= k\left( {3 - 2\sqrt[4]{3} - c} \right) + 2f\left( {\sqrt[4]{3}} \right) + f\left( c \right)
   \end{array}\]
   Xét $g\left( x \right) = k\left( {3 - 2\sqrt[4]{3} - x} \right) + 2f\left( {\sqrt[4]{3}} \right) + f\left( x \right)$ trên $D=\left( {0;\, 3 - \sqrt[4]{3}} \right]$, do $k>0$ nên ta có
   \[g'\left( x \right) = f^{'}\left( x \right) - k = - \frac{2}{{{x^3}}} - 2 - k < 0\quad\forall\,x\in D.\]
   Vậy nên từ $c\in D$ chúng ta có
   \[g\left( c \right) \ge g\left( {3 - 2\sqrt[4]{3}} \right) = 2f\left( {\sqrt[4]{3}} \right) + f\left( {3 - 2\sqrt[4]{3}} \right) > 0\]

Trong cả hai trường hợp đã xét, ta đều có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]