Xem bài viết đơn
Old 26-09-2019, 02:53 PM   #38
Le khanhsy
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 48
Thanks: 52
Thanked 57 Times in 30 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi KHTNHN 2019
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+6\left(ab+bc+ca\right) \ge 9\left(a^2+b^2+c^2\right)$$
Viết lại bất đẳng thức như sau
$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-3\left(ab+bc+ca\right) \ge \dfrac{9}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
$$\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)}{abc}\sum_{\ text{cyc}}(a-b)^2\ge 9\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
hay
$$\left[\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)-9abc\right]\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2\ge 0. $$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Le khanhsy is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 7.72 k/8.73 k (11.55%)]