Trích:
Nguyên văn bởi KHTNHN 2019 Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+6\left(ab+bc+ca\right) \ge 9\left(a^2+b^2+c^2\right)$$ |
Viết lại bất đẳng thức như sau
$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-3\left(ab+bc+ca\right) \ge \dfrac{9}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
$$\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)}{abc}\sum_{\ text{cyc}}(a-b)^2\ge 9\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
hay
$$\left[\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)-9abc\right]\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2\ge 0. $$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]