Trích:
Nguyên văn bởi quocbaoct10  Câu 1:
Bổ đề: các đa giác đều có số lẻ cạnh đều là tập "cân bằng" và "không tâm".
Chứng minh: Gọi đa giác đều trên là $A_1A_2...A_{2k+1}$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều trên. Gọi đường kính đi qua tâm và 1 đỉnh của đa giác đều trên là "trục" của đa giác đều thì ta luôn có $2k+1$ trục như vậy. xét các cạnh $A_{i}A_1,A_{i}A_2,...,A_{i}A_{i-1},A_{i+1},...,A_{i}A_{2i+1}$, vì qua $A_{i}$ có 1 trục của đa giác đều nên trong số $2i$ cạnh kia có thể chia thành $i$ cặp cạnh bằng nhau với các độ dài phân biệt không bằng nhau. Từ đấy suy ra không tồn tại 3 cạnh chung đỉnh nào của đa giác đều bằng nhau Vậy ta chứng minh được bổ đề.
a). Từ các $2k+1$-giác đều, ta dựng tâm của các đa giác đấy. Khi đó, ta được một tập "cân bằng" có số chẵn điểm. Kết hợp với các $2k+1$-giác đều, ta có đpcm.
b). Xét 1 tập cân bằng $A$ có $2k$ điểm $A_1,A_2,A_3,...A_{2k}$. 1 điểm $A_i$ gọi là tốt đối với 1 cặp $A_{k},A_{t}$ ($k \neq i \neq t $) nếu $A_{i}A_{k}=A_{i}A_{t}$. Có tất cả $C_{2k}^{2}=k(2k-1)$ cặp điểm, mà trong $S$ có $2k$ điểm nên theo Dirichlet thì phải tồn tại 1 điểm $A_i$ tốt với $k$ cặp điểm. Nhưng vì trong $k$ cặp này không có cặp chứa điểm $A_i$ nên sẽ phải có 2 cặp $(A_t,A_{t_1})$ và $(A_t,A_{t_2})$ có trùng 1 điểm $A_t$.Khi đó ta có $A_i=A_{t_1}=A_{t_2}$, suy ra tập $S$ có $2k$ phần tử không phải là tập không tâm. Kết hợp với bổ đề, với các số tự nhiên $n$ lẻ lớn hơn $1$ thì luôn tồn tại $S$ có $n$ phần tử sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có $n$ điểm. |
Bổ đề và lời giải câu b chuẩn rồi. Tuy nhiên lời giải cho câu a ở chỗ thêm tâm chưa chuẩn.
Nếu gọi đa giác là $A_1,A_2,..,A_{2k+1}$ và tâm là $O$ thì có thể không tồn tại $C$ mà $C$ cách đều $O$ và $A_1$.
Cách chỉ ra cho $n=2k$ chẵn là: với $n=4$, dựng 2 tam giác đều cạnh đơn vị $OA_1A_2$ và $OA_2A_3$. Từ $n$ lên $n+2$ thì chỉ việc dựng thêm tam giác đều cạnh đơn vị $OA_{n}A_{n+1}$.
Dễ thấy với mọi $A_i\neq A_j$ thì $OA_i = OA_j = 1$. Với mọi $A_i$ với $O$, xét tam giác đều tương ứng ta có $A_j$ mà $OA_j = A_iA_j = 1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]