[Thụy An]

Nguyên văn bởi queen669

Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} - \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
2. Chứng minh rằng
   \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

1. Ta có
   \[\left| {{x_{n + 1}} - 1} \right| = \left| {{x_n} - 1} \right|\left( {\frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} - \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right) < \frac{{\left| {{x_n} - 1} \right|}}{2}.\]
   Từ đây thấy dãy là dãy co, nên hội tụ về $1$.
   
   
   
2. Xét hàm $f\left( x \right) = \sqrt {x + 8} - \sqrt {x + 3}$ trên $\mathbb R^+$, nó là hàm lồi và do vậy theo bất đẳng thức tiếp tuyến có
   \[{x_{n + 1}} \ge f\left( 1 \right) + \left( {{x_n} - 1} \right)f'\left( 1 \right) = 1 - \frac{{{x_n} - 1}}{{12}}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
   Lấy tổng lại ta được
   \[{x_2} + {x_3} + \ldots + {x_{n + 1}} \ge n - \frac{1}{{12}}\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}}-n \right).\]
   Từ đó ta sẽ có
   \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} -n\ge \frac{{12}}{{13}}\left( {{x_1} - {x_{n+1}}} \right) = \frac{{12}}{{13}}\left( {2 - {x_{n+1}}} \right);\;(1).\]
   Từ ý trên ta có
   \[\left| {{x_{n + 1}} - 1} \right| \le \frac{1}{{{2^n}}}\left| {{x_1} - 1} \right| = \frac{1}{{{2^n}}}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
   Cho nên $x_{n+1}<1+\dfrac{1}{2^n}<2$, và từ $(1)$ ta có
   \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \ge n\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
   Lại bởi vì
   \[{x_{n + 1}} - 1 = - \left( {{x_n} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} - \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right).\]
   Nên dễ dàng có được $x_{2k}\le 1\le x_{2k-1}\;\forall\,k\in\mathbb Z^+$ và
   \[{x_{2n}} + {x_{2n + 1}} - 2 = \left( {{x_{2n}} - 1} \right)\left( {1 - \frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} + \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right) < 0\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
   Từ đó ta sẽ thấy
   \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 1}} = 2 + \left( {{x_2} + {x_3}} \right) + \ldots + \left( {{x_{2n}} + {x_{2n + 1}}} \right) \le 2n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
   Và do $x_{2n+2}\le 1\;\forall\,n\in\mathbb Z^+ $ nên
   \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 2}} = \left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 1}}} \right) + {x_{2n + 2}} \le 2n + 2 + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
   Bởi vậy cho nên ta có
   \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
   

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]