Trích:
Nguyên văn bởi ronadomath Cho a,b>0.CMR $\frac{a+b+a^2b^2}{ab}+\frac{54ab}{(a+b)ab+6ab+1} $$\ge 9 $ |
Chuyển sang dạng thuần nhất: Cho $a,b,c>0. $
cmr: $\sum \frac{bc}{a^2}+\frac{54abc}{\sum a^3+6abc}\ge 9 $
giả sử $a\ge b\ge c $
bdt $\Leftrightarrow \sum S_a(b-c)^2 $, với:
$S_a=\frac{ab+bc+ca}{b^2c^2}-\frac{6(a+b+c)}{\sum a^3+6abc} $
$S_b=\frac{ab+bc+ca}{c^2a^2}-\frac{6(a+b+c)}{\sum a^3+6abc} $
$S_c=\frac{ab+bc+ca}{a^2b^2}-\frac{6(a+b+c)}{\sum a^3+6abc} $
Có: $S_b=\frac{f(a)}{M} $ với $M=a^2c^2(\sum a^3+6abc)>0 $
$f(a)=(b+c)a^4+(bc-6c^2)a^3+(b^4+c^4+b^3c+bc^3+6b^2c^2)a+b^4c+bc^4 $ là hàm đồng biến
suy ra $f(a)\ge f(b)>0 $
Dễ dàng có $S_a+S_b $ và $S_b+S_c $ đều $\ge 0 $
bđt được cm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]