Trích:
Nguyên văn bởi 5434  Bài 39 CHo các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $ |
Ta chứng minh đánh giá:
$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \leq \frac{a^2+b^2}{a+b}. $
Tương đương với: $(a+b)^3(a^3+b^3) \leq 2(a^2+b^2)^3. $
hay $(a-b)^4(a^2+ab+b^2) \geq 0. $
Do đó ta cần chứng minh:
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+ d^2}{c+d}+\frac{d^2+a^2}{d+a} \leq 2(a+b+c+d-2) $
Chú ý: $\frac{a^2+b^2}{a+b}=a+b-\frac{2ab}{a+b}. $ Nên ta cần chứng minh:
$2 \leq \frac{ab}{a+b}+\frac{cb}{c+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac {ad}{a+d} $
Mà theo Cauchy Schwarz ta có:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1 }{c}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d} }
+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{d}} \geq 2. $
Suy ra Q.E.D!
Bài này là của Ba Lan hay sao ấy, mình không nhớ rõ.
Thi HSG khối 10 chuyên KHTN cách đây 3 năm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]