Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

hung.vx · 25-04-2018, 09:43 AM

2018 USAMO

Ngày thi thứ nhất (18/4/2018).

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $a+b+c=4\sqrt[3]{abc}$. Chứng minh rằng $$2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2.$$

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ sao cho

$$f\left(x+\frac{1}{y}\right)+f\left(y+\frac{1}{z} \right) + f\left(z+\frac{1}{x}\right) = 1, \forall x,y,z >0 \text{ và } xyz =1.$$

Bài 3: Với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, gọi $\{a_1,a_2,…,a_m\}$ là tập các số nguyên dương bé hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng mọi ước của $m$ cũng là ước của $n$, khi $a_1^k+a_2^k + \dots + a_m^k$ chia hết cho $m$ với mọi số nguyên dương $k$.

25-04-2018, 09:43 AM	#1
hung.vx +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 36 Thanks: 0 Thanked 13 Times in 7 Posts	2018 USAMO 2018 USAMO Ngày thi thứ nhất (18/4/2018). Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $a+b+c=4\sqrt[3]{abc}$. Chứng minh rằng $$2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2.$$ Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ sao cho $$f\left(x+\frac{1}{y}\right)+f\left(y+\frac{1}{z} \right) + f\left(z+\frac{1}{x}\right) = 1, \forall x,y,z >0 \text{ và } xyz =1.$$ Bài 3: Với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, gọi $\{a_1,a_2,…,a_m\}$ là tập các số nguyên dương bé hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng mọi ước của $m$ cũng là ước của $n$, khi $a_1^k+a_2^k + \dots + a_m^k$ chia hết cho $m$ với mọi số nguyên dương $k$.