Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Một số kiến thức về hình trong các cuộc thi Olympic Toán !

**ma 29** · 23-08-2008, 08:53 AM

I.28)Định lí Gergone-Euler.

Định lí:Xét tam giác ABC và một điểm S trong mặt phẳng.AS,BS,CS lần lượt cắt BC,CA,AB ở D,E,F.Khi đó ta có:

$\frac{\bar{SD}}{\bar{AD}} + \frac{\bar{SE}}{\bar{BE}} +\frac{\bar{SF}}{\bar{CF}} =1 $
Chứng minh:

Kí hiệu $S_{[..]} $ chỉ diện tích đại số của đa giác.
Ta thấy :
$\frac{\bar{SD}}{\bar{AD}} = \frac{S_{[SBD]} }{S_{[ABD]}} = \frac {S_{[SDC]}}{S_{[ADC]}}=\frac{S_{[SBD]} +S_{[SDC]}}{S_{[ABD]}+S_{[ADC]}}= \frac{S_{[SBC]} }{ S_{[ABC]}} $ (1)
Tương tự ta có:
$\frac{\bar{SE}}{\bar{BE}}=\frac{S_{[SCA]}}{S_{[BCA]}} $ (2)
$\frac{\bar{SF}}{\bar{CF}}=\frac{S_{[SAB]}}{S_{[CAB]}} $ (3)

Cộng theo vế (1),(2)và (3) ta có điều cần chứng minh.

23-08-2008, 08:53 AM	#30
ma 29 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân Bài gởi: 888 Thanks: 113 Thanked 968 Times in 210 Posts	I.28)Định lí Gergone-Euler. Định lí:Xét tam giác ABC và một điểm S trong mặt phẳng.AS,BS,CS lần lượt cắt BC,CA,AB ở D,E,F.Khi đó ta có: $\frac{\bar{SD}}{\bar{AD}} + \frac{\bar{SE}}{\bar{BE}} +\frac{\bar{SF}}{\bar{CF}} =1 $ Chứng minh: Kí hiệu $S_{[..]} $ chỉ diện tích đại số của đa giác. Ta thấy : $\frac{\bar{SD}}{\bar{AD}} = \frac{S_{[SBD]} }{S_{[ABD]}} = \frac {S_{[SDC]}}{S_{[ADC]}}=\frac{S_{[SBD]} +S_{[SDC]}}{S_{[ABD]}+S_{[ADC]}}= \frac{S_{[SBC]} }{ S_{[ABC]}} $ (1) Tương tự ta có: $\frac{\bar{SE}}{\bar{BE}}=\frac{S_{[SCA]}}{S_{[BCA]}} $ (2) $\frac{\bar{SF}}{\bar{CF}}=\frac{S_{[SAB]}}{S_{[CAB]}} $ (3) Cộng theo vế (1),(2)và (3) ta có điều cần chứng minh. __________________ Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời và lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu. thay đổi nội dung bởi: ma 29, 11-08-2010 lúc 10:01 AM