Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**CMPITG** · 18-01-2008, 12:07 AM

Bài này em ra rồi, nhưng mà khủng quá, xin trình bày vắn tắt vậy:
$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1 + \tan x} dx
$
Đặt
$
\frac{\pi}{4} - x = t \Rightarrow
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} - t}{\frac{2}{1 + \tan t}} dt
$
$
= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\pi}{4} - t \right) \left( 1 + \tan t \right) dt
$
$
= \frac{\pi}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dt + \frac{\pi}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan t dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \tan t dt
$
Ba cái đầu tiên thì quá đơn giản rồi, xét cái thứ tư: Đặt
$
I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \tan t dt
$
Đặt tiếp:
$
\frac{\pi}{4} - t = u \Rightarrow
I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\pi}{4} - u \right) \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} du
$
$
= \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} + 1 \right) du - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u \left( \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} + 1 \right) du - \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} du + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u du
$
$
= \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1 + \tan u} du - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2u}{1 + \tan u} du - \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} du + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u du
$
Hai tích phân cuối thì đơn giản rồi, cái thứ ba chính là $2I $, tính nốt tích phân đầu tiên của $I_1 $ là xong:
$
I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{du}{1 + \tan u} du
$
Đặt:
$
v = \tan u \Rightarrow dv = (1 + \tan ^2 u) du = (1 + v^2) du
$
$
\Rightarrow I_2 = \int_{0}^{1} \frac{dv}{(1 + v)(1 + v^2)}
$
--> Quá quen thuộc.
Bài toán coi như tính xong

.

18-01-2008, 12:07 AM	#2
CMPITG +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 178 Thanks: 37 Thanked 279 Times in 172 Posts	Bài này em ra rồi, nhưng mà khủng quá, xin trình bày vắn tắt vậy: $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1 + \tan x} dx $ Đặt $ \frac{\pi}{4} - x = t \Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} - t}{\frac{2}{1 + \tan t}} dt $ $ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\pi}{4} - t \right) \left( 1 + \tan t \right) dt $ $ = \frac{\pi}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dt + \frac{\pi}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan t dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \tan t dt $ Ba cái đầu tiên thì quá đơn giản rồi, xét cái thứ tư: Đặt $ I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \tan t dt $ Đặt tiếp: $ \frac{\pi}{4} - t = u \Rightarrow I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\pi}{4} - u \right) \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} du $ $ = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} + 1 \right) du - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u \left( \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} + 1 \right) du - \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} du + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u du $ $ = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1 + \tan u} du - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2u}{1 + \tan u} du - \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} du + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u du $ Hai tích phân cuối thì đơn giản rồi, cái thứ ba chính là $2I $, tính nốt tích phân đầu tiên của $I_1 $ là xong: $ I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{du}{1 + \tan u} du $ Đặt: $ v = \tan u \Rightarrow dv = (1 + \tan ^2 u) du = (1 + v^2) du $ $ \Rightarrow I_2 = \int_{0}^{1} \frac{dv}{(1 + v)(1 + v^2)} $ --> Quá quen thuộc. Bài toán coi như tính xong .