Trích:
Nguyên văn bởi namdung  [INDENT] Đề 2 - Ngày 2, 10/2/2018 5. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số hữu tỷ dương và nhận giá trị trên tập hợp đó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: - $ f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 1 $ với mọi $x$ thuộc $\mathbb Q^{+}$.
- $f(2x+1) = \dfrac{1}{2}f(x) $ với mọi $x$ thuộc $Q^{+}$.
|
Thay $x=1$ vào (i), dễ có $f(1) = \dfrac{1}{2}$. Thế liên tục vào bước 2 và quy nạp, $f(2^k-1) = \dfrac{1}{2^k}$
Ta xét $x = \dfrac{1}{p+1} = \dfrac{a}{b}$ ($a, b \in N, p \in Q^{+}, a, b$ lẻ, $a < b, (a; b) = 1$).
Ta đưa ra 2 dãy $(p_n) và (x_n)$ như sau:
$(p_n)$: \begin{align}
\begin{cases}
p_0 &= p \\
p_{n+1} &= \dfrac{p_n-1}{2} (p_n > 1) \\
p_{n+1} &= \dfrac{1}{p_n} (p_n < 1)
\end{cases}
\end{align}
$(x_n)$: \begin{align}
\begin{cases}
x_0 &= x \\
x_{n+1} &= 2x_n (x_n < \dfrac{1}{2}) \\
x_{n+1} &= 1 - x_n (x_n > \dfrac{1}{2})
\end{cases}
\end{align}
Ta chứng minh 2 ý sau:
(i) $x_n = \dfrac{1}{p_n + 1} \forall n \in N$ (dễ kiểm chứng trực tiếp).
(ii) $\exists n_0 > 0: p_n = p_0$ (dãy $(p_n)$ tuần hoàn, từ đó suy ra $(x_n)$ tuần hoàn cùng chu kỳ).
CM (ii):
Gọi bước $x_n \rightarrow 2x_n (p_n \rightarrow \dfrac{p_n-1}{2})$ là bước “thuận”, $x_n \rightarrow 1 - x_n (p_n \rightarrow \dfrac{1}{p_n})$ là bước “nghịch”. Hiển nhiên giữa 2 bước “nghịch” liên tiếp sẽ có ít nhất 1 bước “thuận”. Từ $x_n \rightarrow x_{n+1}$, nếu là bước “nghịch” thì hiển nhiên $x_{n+1}$ (dạng tối giản) có mẫu là $b$, tử là số nguyên lẻ. Gọi dãy kết quả của mỗi bước “nghịch” là $x_0, x_{n_1}, x_{n_2},...$ (dãy bắt đầu từ $x_0$) thì mỗi giá trị $x_{n_i}$ xác định đúng một $x_{n_{i-1}}$ và một $x_{n_{i+1}}$, do đó đây là dãy tuần hoàn (do các giá trị nhận được là hữu hạn trong tập {$\dfrac{1}{b}; \dfrac{3}{b}; …; \dfrac{b-2}{b}$})
Vậy $\exists a_1, a_2, …, a_k \in N^{*}: x = 1 - 2^{a_1}(1- 2^{a_2}(... -2^{a_{k-1}}(1-2^{a_k}x)...))$
Theo quy luật trên, $f(p_{n+1}) = \dfrac{f(p_n)}{2}$ (thuận); $f(p_{n+1}) = 1 - f(p_n)$ (nghịch)
Như vậy, $f(p)$ cũng thỏa mãn $f(p) = 1 - 2^{a_1}(1- 2^{a_2}(... -2^{a_{k-1}}(1-2^{a_k}f(p))...))$. Từ đây, $f(p) = x = \dfrac{1}{p+1} \forall p$ thỏa mãn.
Với $p \in Q^{+}$ sao cho $x = \dfrac{1}{p+1}$ không thỏa:
Nếu $x$ (dạng tối giản) có tử chẵn, mẫu lẻ thì $x = \dfrac{2^k.a}{b}$ ($a, b$ lẻ, $2^k.a < b, (a; b) = 1$ thì xét dãy $(x_n), (p_n)$ như trên, sau đó thực hiện bước "thuận" cho đến khi thực hiện lần đầu bước "nghịch", ta có một phân số thỏa điều kiện trên. Truy ngược lại, ta cũng có $f(p) = \dfrac{1}{p+1}$. Với $x$ (dạng tối giản) có tử lẻ, mẫu chẵn thì ta cũng làm tương tự.
Kết luận: $f(x) = \dfrac{1}{x+1} \forall x \in Q^{+} \blacksquare$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]