Em mạn phép đưa ra 1 số bài áp dụng bổ đề này.
$\boxed{7}$ Tìm số nguyên dương $n$ sao cho luôn tồn tại số nguyên $m$ thỏa mãn $2^n-1 \mid m^2 +9$
$\boxed{8}$ Tìm số nguyên dương lẻ $n$ để $n^{11}+199$ là một số chính phương.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi quocbaoct10  Bài 6 (IMO 1970) Tìm $n$ nguyên dương để tập $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ có thể phân hoạch thành 2 tập $A$ và $B$ sao cho tích của tất cả các phần tử ở tập này bằng tích của tất cả các phần tử ở tậpkia. (ví dụ như chia được 2 tập $A=\{n+1,n+2\}; B=\{n,n+3,n+4,n+5\}$ thì $(n+1).(n+2)=n.(n+3)(n+4).(n+5) )$ |
Giả sử tập ban đầu được phân hoạch thành hai tập $A$ và $B$.
Trong $6$ số nguyên liên tiếp thì tồn tại nhiều nhất một số chia hết cho $7$.
Nếu trong $6$ số $n,n+1,..,n+5$ có một số chia hết cho $7$ thì khi lấy tích các phần tử của $A$ và $B$ sẽ có 1 tích chia hết cho $7$, một tích không chia hết cho $7$. Loại.
Do đó cả $6$ số đều không chia hết cho $7$.
Suy ra tích $P=n(n+1)..(n+5) \equiv 1.2.3.4.5.6 \equiv 6 (mod 7)$
Điều này vô lí vì $P$ phải là số chính phương mà số chính phương chỉ chia $7$ dư $0,1,2,4$.
Tổng quát bài toán : Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên tố $p$ thỏa mãn tính chất :
Không tồn tại tập hợp gồm $p-1$ phần tử là $p-1$ số nguyên dương liên tiếp mà có thể chia tập này thành hai tập con, trong đó tích các phần tử của mỗi tập con là bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]