Bài số 2 Coi $a_{n+1},a_{n+2}$ như $a_{1},a_{2}$, ta được hệ hoán vị vòng quanh. Giải thử với trường hợp $n=3$, ta được nghiệm $-1,-1,2$, nhận thấy với $n=3k$ thì cũng thỏa mãn (ghép bộ trên $k$ lần). Ta sẽ chứng minh $n=3k$ là tất cả các giá trị thỏa mãn đề bài, bằng cách chứng minh nếu có dãy số thực $a_{n}$ thỏa mãn điều trên thì sẽ đan dấu theo dạng $+,-,-,+,-,-,....$ Chứng minh được thực hiện qua 4 nhận xét như sau: Nhận xét 1 : Không có số nào trong dãy bằng 0. Thật vậy, nếu tồn tại $a_{i}=0$, dãy sẽ trở thành dãy tăng từ $a_{i+3}$, vì hệ hoán vị vòng quanh nên suy ra được $a_{i}>0$, vô lý. Nhận xét 2 Không có 2 số dương đứng cạnh nhau, không có 3 số âm đứng cạnh nhau. Tương tự như ở trên, khi 2 số dương đứng cạnh nhau ta sẽ suy ra dãy tăng. 3 số âm không thể đứng cạnh nhau có được trực tiếp từ $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$ Nhận xét 3 Dãy không đan dấu theo dạng $+,-,+,-,...$ Từ $a_{1}a_{2}+1=a_{3}$ suy ra $(a_{1}-1)(a_{2}-1)=a_{3}-a_{2}-a_{1}$ . Nếu dãy đan dấu như trên, có ngay mọi số dương đều bé hơn 1, vì $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$, do đó $(a_{1}-1)(a_{2}-1)>0$ dẫn đến $a_{3}-a_{2}-a_{1}>0$ hay $a_{3}>a_{2}+a_{1}$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a_{2k}$ dương, suy ra $a_{3}>a_{1}$. Thực hiện tương tự suy ra dãy $a_{2k+1}$ là dãy tăng, tương tự như trên, điều này vô lý. Nhận xét 4 Không có 5 phần tử đứng cạnh nhau có đan dấu dạng $+,-,+,-,-$ Đánh giá 5 phần tử trên, ta cũng sẽ rút được một dãy con giảm, suy ra vô lý. Vậy dãy phải đan dấu theo dạng $+,-,-,+,-,-,...$ $n$ không thể bằng $3k+1$ hay $3k+2$ theo các nhận xét 2 và 4. Với mọi $n$ chia hết cho 3, ta đã chỉ ra được dãy thỏa mãn ở trên. Vậy $n=3k$. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] thay đổi nội dung bởi: vnt.hnue, 16-07-2018 lúc 10:11 AM |