Rảnh rảnh ngồi nghĩ tí mà năm nay bài khó quá
. Viết lời giải bài 1b theo ý mình để xem lão 2M có bình luận gì ko
.
Giả sử M là GTLN của $f(x)$ và có 1 giá trị $a$ sao cho $f(a)=M$. Khi đó: $0<f(x) \le M$ với mọi $x\in (-\infty, a)$ và mọi $x\in (a,\infty)$.
Theo tính liên tục và giới hạn 2 đầu đều = 0 thì mọi đường thẳng $y=m$ với $0<m<a$ đều cắt ĐTHS $f(x)$ tại (ít nhất) 1 điểm có hoành độ nằm bên trái và 1 điểm nằm bên phải điểm $a$. Do M là GTLN của $f(x)$ và $f(x)$ liên tục nên $f(x)$ đơn điệu tăng trong 1 khoảng $\left[a-\epsilon_1,a\right)$ và đơn điệu giảm trong 1 khoảng $\left(a,a+\epsilon_2\right]$. Chọn $N=\max\{f(a-\epsilon_1);f(a+\epsilon_2)\} <M$ và lấy $b\in\left[a-\epsilon_1,a\right)$ và $c\in \left(a,a+\epsilon_2\right]$ sao cho $f(b)=f(c)=N$. Khi đó $f(x)$ tăng trên $[b,a]$ và giảm trên $[a,c]$.
Giờ ta xây dựng 1 dãy $x_n$ tăng bất kì trong khoảng $[b,a)$ thì luôn có 1 dãy $y_n$ tương ứng trong khoảng $(a,c]$ sao cho $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$ và $\lim x_n=\lim y_n=M$. Hiển nhiên $x_n<y_n,\forall n$ (đpcm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]