[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG

Đây cũng là một bài toán rất thú vị.
Bài 6: (Làm mạnh Việt Nam TST 1996) Với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ, khi đó ta luôn có $$(a+b)^4+(b+c)^4+(c+a)^4\ge \frac{4}{7}[a^4+b^4+c^4+(a+b+c)^4].$$

Bài này giải rất nhẹ nhàng!
Đặt $a=\frac{y+z-x}{2}, b= \frac{z+x-y}{2},c = \frac{x+y-z}{2} $.
Thay vào BĐT cần chứng minh và rút gọn, ta được:
$x^4+y^4+z^4 \ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 $.
BĐT cuối hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.

Bài TST 1996 cũng được giải theo cách tương tự, không cần phải dồn biến hay xét hàm số gì cả.
------------------------------
Sẵn dịp nói về thi TST, mình muốn trao đổi với mọi người bài tổ hợp số 6 trong kì thi VN TST 1990 với nội dung như sau:

Cho n học sinh ($n \ge 3 $) đứng thành một vòng tròn và quay mặt vào cô giáo ở tâm đường tròn. Mỗi lần cô giáo thổi còi thì hai em nào đó đứng cạnh nhau đổi chỗ cho nhau, các em còn lại đứng im. Tìm số M nhỏ nhất sao cho sau M lần thổi còi, bằng cách đổi chỗ như trên một cách thích hợp thì các em học sinh đứng được thành một vòng tròn mới sao cho: Hai em lúc đầu đứng cạnh nhau, nhưng hai em đó, tạm gọi là A và B, thì nếu lúc đầu A đứng bên tay trái của B thì lúc kết thúc, A đứng bên tay phải của B.

Trên thực tế, bài này có thể phát biểu ở một dạng khác dễ hiểu hơn mà mình đã nhờ bạn hoanghai_vovn post giúp:

Trên một đường đua khép kín, có n chiếc xe đang chạy với một thứ tự nhất định theo chiều kim đồng hồ. Tại mỗi thời điểm, có đúng một chiếc xe tăng tốc và vượt qua mặt chiếc xe ngay trước nó (tức là hai chiếc xe liền nhau đó đổi chỗ cho nhau).
Hỏi sau ít nhất bao nhiều lần vượt thì các chiếc xe sẽ vẫn với thứ tự cũ trên đường đua nhưng theo ngược chiều kim đồng hồ?

Theo các thảo luận bên math.vn thì mình đã dự đoán được có thể là công thức sau:
$f(n) = \sum_{i=1}^{n-1}\left [ \frac{i-1}{2} \right ] = \sum_{i=1}^{n} \left (n - 2\left [ \frac{i}{2} \right ] \right ) $. (*)
trong đó $f(n) $ chính là số cần tìm ứng với trường hợp n xe.
Một số kết quả khác như:
+ $f(3)=1, f(4)=2, f(5)=4, f(6)=6,... $
+ Do việc vượt qua mặt của các chiếc xe có thể xem như chúng đổi vị trí cho nhau nên có thể xem 1 xe nào đó, đặt là xe 1, không thay đổi trong quá trình sắp xếp. Giả sử các xe có thứ tự là $1, 2, 3, ..., n-1, n $ theo chiều kim đồng hồ. Ta cần đạt được thứ tự đó lần nữa nhưng ngược chiều kim đồng hồ.
+ Nếu gọi S(i) là tổng số nghịch thế (số nhỏ hơn nhưng lại nằm sau theo chiều kim đồng hồ) tính từ một vị trí bất kì trên vòng tròn đến cuối vòng (ngay trước xe số 1) trong lần đổi chỗ thứ i thì:
$S(0)=0, S(f(n))=\frac{(n-1)(n-2)}{2} $ và đây là số nghịch thế lớn nhất.

Đó là một số kết quả mình tìm hiểu được và nếu các công thức (*) đúng thì hoàn toàn có thể phát biểu được các bước di chuyển. Tuy nhiên, quan trọng là điều kiện cần vẫn chưa có, chưa chứng minh được giá trị kia cũng là nhỏ nhất!
Mong mọi người cùng thảo luận.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]