Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang Bài 4 mình đang thử chứng minh bài toán tổng quát hơn là: Cho p là số nguyên tố lẻ. Xét dãy số $(x_n) $ xác định bởi: $x_1=1,x_2=p,x_{n+2}=2px_{n+1}-x_n, n \ge 1 $. Chứng minh rằng $\frac{x_{p+1}+1}{p+1} $ là số chính phương. Thử với $p=3,5 $ thì đúng rồi. |
Hình như dự đoán này là đúng.
Không khó để chứng minh công thức tường minh của $x_{n+1} $ là
$x_{n+1}=\dfrac{a^n+b^n}{2}. $
với $a=p+\sqrt{p^2-1},\;b=p-\sqrt{p^2-1}, $ $a+b=2p,\;ab=1. $
Khi đó
$\[P = \frac{{{x_{p + 1}} + 1}}{{p + 1}} = \frac{{{{({a^{\frac{p}{2}}} + {b^{\frac{p}{2}}})}^2}}}{{2(p + 1)}}.\] $
Để ý, $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2(p+1)},\;\sqrt{ab}=1, $ khi đó không khó để chứng minh (quy nạp là được)
$\[{a^{\frac{p}{2}}} + {b^{\frac{p}{2}}} = x\sqrt {2(p + 1)} .\] $
(để ý $p $ là số lẻ, $x $ là một số nguyên dương, để rõ ràng thì đặt $m=\sqrt{a},\;n=\sqrt{b} $)
Ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]