[_minhhoang_]

Nguyên văn bởi ntuan5

5/ Cho các số thực thỏa mãn: $a,b,c \ge -1$ và$2(a+b+c)+3(ab+bc+ac)+3abc=0$. CMR:
$$\sum \frac{bc+b+c+1}{(a+1)^3(c+2b+3)} \ge 1$$

Điều kiện bài toán viết lại thành: $3(a+1)(b+1)(c+1) = a+1+b+1+c+1$
Ta cần chứng minh:$$\sum \frac{(b+1)(c+1)}{(a+1)^3(2(b+1)+c+1)} \ge 1$$Đặt $a+1=x, b+1=y, c+1=z$. Khi đó x,y,z không âm và $3xyz=x+y+z$. Biểu thức cần chứng minh tương đương với:$$\sum \frac{xy}{z^3(2x+y)} \ge \frac{x+y+z}{3xyz}$$$$\Leftrightarrow\sum \frac{x^2y^2}{3z^2(2x+y)} \ge x+y+z$$Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, được :$$VT \ge \frac{(\sum{x^2y^2})^2}{x^2y^2z^2(x+y+z)}$$Ta cần chứng minh$$\frac{(\sum{x^2y^2})^2}{x^2y^2z^2(x+y+z)} \ge x+y+z$$$$\Leftrightarrow (\sum{x^2y^2})^2 \ge x^2y^2z^2(x+y+z)^2$$Bất đẳng thức này đúng do :$$(\sum{x^2y^2})^2 \ge x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\ge x^2y^2z^2(x+y+z)^2$$Bất đẳng thức được chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]