Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 Các bạn giúp minh bài này với Cho $a, b, c > 0 $ CMR $(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a) $ |
Bất đẳng thức này cũng đúng với $a,b,c $ là các số thực bất kỳ.
Ta đã biết với mọi số thực $x,y,z $ thì
$(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx) $
chọn
$x=a^2+bc-ab,\;y=b^2+ca-bc,\;z=c^2+ab-ca $
ta thu được
$\left [ \sum (a^2+bc-ab) \right ]^2\ge3\sum(a^2-bc-ab)(b^2+ca-bc) $
Bằng một số tính toán đơn giản, ta thấy rằng
$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2 $
$\sum(a^2-bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a $
Nên ta có
$(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a). $
Gần đấy mình trông thấy trên giang hồ xuất một cách phân tích nhìn rất khủng mà từ đó ta suy ra bất đẳng thức đã cho là đúng (còn tính chính xác thì các bạn tự kiểm tra nhé). Bằng cách xét hiệu hai vế của bất đẳng thức, ta được
$\begin{aligned}\left ( \sum a^2 \right )^2-3\sum a^2b&=\sum\left [\frac{1}{2}a^2-\left (\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).ab+\frac{\sqrt{5}}{2}ca+\left (\frac{ \sqrt{5}}{4}-\frac{1}{4} \right ).b^2+\left (\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).bc-\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).c^2 \right ]^2\\&=\sum\left [\frac{1}{3}.a^2-\left (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).ab+\frac{\sqrt{15}}{3}.ca+\left (\frac{ \sqrt{15}}{6}-\frac{1}{6} \right ).b^2+\left (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).bc-\left (\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).c^2 \right ]^2\\&=\sum\left [\frac{1}{4}.a^2-\left (\frac{3}{8}+\frac{\sqrt{29}}{8}.ab \right )+\frac{\sqrt{29}}{4}.ca+\left (\frac{ \sqrt{29}}{8}-\frac{1}{8} \right ).b^2+\left (\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{29}}{8} \right ).bc-\left (\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{29}}{8} \right )c^2 \right ]^2.\end{aligned} $
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]