Xem bài viết đơn
Old 25-06-2011, 03:32 PM   #1505
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 300
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 View Post
Các bạn giúp minh bài này với
Cho $a, b, c > 0 $
CMR $(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a) $
Bất đẳng thức này cũng đúng với $a,b,c $ là các số thực bất kỳ.
Ta đã biết với mọi số thực $x,y,z $ thì
$(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx) $
chọn
$x=a^2+bc-ab,\;y=b^2+ca-bc,\;z=c^2+ab-ca $
ta thu được
$\left [ \sum (a^2+bc-ab) \right ]^2\ge3\sum(a^2-bc-ab)(b^2+ca-bc) $
Bằng một số tính toán đơn giản, ta thấy rằng
$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2 $

$\sum(a^2-bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a $
Nên ta có
$(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a). $
Gần đấy mình trông thấy trên giang hồ xuất một cách phân tích nhìn rất khủng mà từ đó ta suy ra bất đẳng thức đã cho là đúng (còn tính chính xác thì các bạn tự kiểm tra nhé). Bằng cách xét hiệu hai vế của bất đẳng thức, ta được
$\begin{aligned}\left ( \sum a^2 \right )^2-3\sum a^2b&=\sum\left [\frac{1}{2}a^2-\left (\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).ab+\frac{\sqrt{5}}{2}ca+\left (\frac{ \sqrt{5}}{4}-\frac{1}{4} \right ).b^2+\left (\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).bc-\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4} \right ).c^2 \right ]^2\\&=\sum\left [\frac{1}{3}.a^2-\left (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).ab+\frac{\sqrt{15}}{3}.ca+\left (\frac{ \sqrt{15}}{6}-\frac{1}{6} \right ).b^2+\left (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).bc-\left (\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{15}}{6} \right ).c^2 \right ]^2\\&=\sum\left [\frac{1}{4}.a^2-\left (\frac{3}{8}+\frac{\sqrt{29}}{8}.ab \right )+\frac{\sqrt{29}}{4}.ca+\left (\frac{ \sqrt{29}}{8}-\frac{1}{8} \right ).b^2+\left (\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{29}}{8} \right ).bc-\left (\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{29}}{8} \right )c^2 \right ]^2.\end{aligned} $
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport

thay đổi nội dung bởi: Nguyenhuyen_AG, 25-06-2011 lúc 04:32 PM
Nguyenhuyen_AG is offline  
The Following 5 Users Say Thank You to Nguyenhuyen_AG For This Useful Post:
franciscokison (26-06-2011), ladykillah96 (26-06-2011), Lil.Tee (26-06-2011), magician_14312 (26-06-2011), nguyenhtctb (26-06-2011)
 
[page compression: 10.50 k/11.73 k (10.45%)]