Trích:
Nguyên văn bởi 99  99 có bài tập này khá hay cho bạn nào thích giải tích. Bài này được lấy ra từ các bài tập của phương trình vi phân.
Đề bài : Cho $f $ là hàm thực trên đoạn $[a,b] $ thỏa mãn $|f(x)-f(y)| \leq \phi(|x-y|) $ với mọi $x,y\in [a,b] $. Trong đó $\phi $ là hàm liên tục nhận giá trị không âm trên $[0,b-a] $ thỏa mãn $\phi(0) = \phi'(0) = 0 $. Chứng minh rằng $f $ là hàm hằng. |
Từ giả thiết suy ra $\lim\limits_{t\to 0^{+}}\phi(t)/t=0 $
do đó, cố định $x_0 $ ta có:
$0\leq \limsup_{y\to x_0}\frac{|f(y)-f(x_0)|}{|y-x_0|}\leq \lim_ {y\to x_0}\frac{\phi(|y-x_0|)}{|y-x_0|}=0 $
do đó: $f^{'}(x_0)=0 $ với mọi $x_0\in [a,b] $
từ điều này suy ra f là hằng số trên $[a,b] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]