Xem bài viết đơn
Old 30-03-2018, 04:35 PM   #5
trihoctoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Đến từ: 704/128 Nguyễn Đình Chiểu ,P1 , Q3
Bài gởi: 32
Thanks: 0
Thanked 5 Times in 5 Posts
Bài 1:
Bổ đề :Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O) $ có $P$ là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác .Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là giao của $AP,BP,CP$ và $(O)$.Gọi $D,E,F$ lần lượt là đối xứng với $X,Y.Z$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$.Khi đó :$DEF)$ đi qua trực tâm tam giác $ABC$.
Giải bài toán:
a) Gọi $V_3$ là đối xứng của $H$ qua $D'$ .Theo kết quả : quen thuộc ta được $V_3$ nằm trên $(O)$ .Ta thấy :$AV_3A'H$ là hình bình hành.Gọi $U$ là trung điểm $AH$. Ta thấy :$UD’$ //$A’H$ .Mà DU là đường kính của $(O’)$. Suy ra:$DD’$ vuông góc với $UD’$.Gọi $(O’’)$ là tâm của $(HBC)$ .Ta có :$OO’’HA,OO’’A’V_3$ là hình bình hành .Gọi $P’$ là đối xứng của $O$ qua $P$.Ta thấy $P’O=P’H$(Vì giả thiết và $O’$ là trung điểm của $OH$).Bây giờ lại để ý $DP$//$P’O’’$ nên suy ra :$O’’P’$ vuông góc với $HA’$.Mà do $OV_3$ =$O’’A’$ nên $A’$ thuộc $(HBC)$.$O’’H=O’’A’$ nên $PA’=PH$ .Tương tự vậy :ta dẫn tới $PH=PO=PA’=PB’=PC’$ .Suy ra : $(A’B’C’)$ đi qua $O$.
b) Gọi $X_1$ là điểm đối xứng với A’ qua D và tương tự cho :$Y_1,Z_1$.Gọi $D_1$ là đối xứng của X qua D ,tương tự cho :$E_1,F_1$.Theo tính chất đẳng giác ta thấy :$AX_1,BY_1,CZ_1$ đồng quy khi và chỉ khi $AD_1,BE_1,CF_1$ đồng quy. Mà theo Bổ đề đảo lại ta có ta được :$AX_1,BY_1,CZ_1$ đồng quy ( vì câu a) .Suy ra : $AD_1,BE_1,CF_1$ đồng quy.Mà theo tính đối xứng của các đường tròn $(HBC),(HCA),(HAB)$ với $(O)$ ta thấy :$D_1,E_1,F_1$ thuộc $(O)$.Nên áp dụng Bổ đề cho tam giác $ABC$ ta được $X,Y,Z,H$ cùng thuộc 1 đường tròn $(T)$.Vậy ta thấy :$M,N,K$ có cùng phương tích tới $(O)$ và $(T)$.Suy ra :$M,N,K$ thẳng hàng trên đường thẳng vuông góc với $OT$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: trihoctoan, 31-03-2018 lúc 02:04 PM
trihoctoan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 8.86 k/9.91 k (10.61%)]