Thử tính $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\binom{2i}{i}} =\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.$$ Đặt $C_n=\frac{1}{\binom{2n}{n}}, n\geq 1$ và $C_0=1$. Xét chuỗi $$h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{C_n}{2n+1}x^{2n+1} +2.$$ Ta có $h$ là hàm khả vi liên tục trên $(-2,2)$, $h(0)=2$ và $$h'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}C_nx^{2n}.$$ $h'(1)$ là giá trị của chuỗi cần tính. Do $$C_n=\frac{1}{4}C_{n-1}+\frac{1}{4(2n-1)}C_{n-1},$$ nên $$h'(x)=\frac{x^2}{4}h'(x)+\frac{x}{4}h(x)+\frac{x ^2-x}{2}$$ hay \begin{equation}\label{de} h'(x)(4-x^2)-xh(x)-2(x^2-x)=0. \end{equation} Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng với phuơng trình trên có dạng $\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}$, do đó ta tìm nghiệm của phuơng trình dạng $h(x)=\frac{4C(x)}{\sqrt{4-x^2}}$ với điều kiện $h(0)=2$. từ đó tính được $h(1)$ suy ra $h'(1)$. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |