Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 29-11-2017, 07:50 PM   #1
fatalhans
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 31
Thanks: 41
Thanked 3 Times in 3 Posts
Bổ đề tiếp tuyến trong đồng dư đa thức

Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $m$ là số nguyên dương, $x$ là số nguyên thỏa $x \equiv a\pmod m$, chứng tỏ rằng
\[P(x) \equiv P(a) + (x - a)P'(a)\pmod{m^2}.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
fatalhans is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-12-2017, 02:22 AM   #2
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,401
Thanks: 2,164
Thanked 4,152 Times in 1,370 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Bổ đề này em có thể chứng minh bằng các kết quả sau:

Với mọi đa thức nguyên $P(x)$ và $a\ne b$ nguyên thì $a-b|P(a)-P(b)$.

Nếu $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ và $k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thì $\frac{{{P}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}\in \mathbb{Z}$ với mọi ${{x}_{0}}\in \mathbb{Z}$ (do tích của $k$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $k!$, mà đạo hàm cấp $k$ thì chứa các tích đó).

Khai triển Taylor của đa thức tại $x={{x}_{0}}$:
\[P(x)=P({{x}_{0}})+\frac{{P}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\frac{{P}''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots +\frac{{{P}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}.\]

Từ những điều trên, xét $x=a+pt$ với $t\in \mathbb{Z}$ thì dễ dàng có

\[P(x)\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt+\underbrace{{P}''({ {x}_{0}}){{(pt)}^{2}}+\cdots }_{\vdots {{p}^{2}}}\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt(\bmod {{p}^{2}}). \]

Đây là cơ sở của bổ đề Hensel, dùng để chứng minh tồn tại hoặc đếm số nghiệm của PT đồng dư với modulo là lũy thừa của số nguyên tố.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
chemmath (04-12-2017), fatalhans (03-12-2017), kimtrankhoa (03-12-2017), Le khanhsy (06-12-2017)
Old 26-02-2018, 03:26 PM   #3
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi fatalhans View Post
Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $p$ là số nguyên tố và $x \equiv a\pmod p$, chứng tỏ rằng
\[P(x) \equiv P(a) + (x - a)P'(a)\pmod{p^2}\]
Do tính đóng của các phép toán số học với quan hệ đồng dư, nên thực chất bổ đề này chỉ cần chứng minh với trường hợp $P(x)=x^n$. Lúc đó, chỉ cần viết ra hằng đẳng thức sau là thấy ngay\[{x^n} = {a^n} + \left( {x - a} \right)n{a^{n - 1}} + \left( {x - a} \right)\sum\limits_{1 \le k \le n - 1} {\left( {{x^k} - {a^k}} \right)a^{n-k-1}} .\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
fatalhans (26-02-2018)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:48 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 47.26 k/52.34 k (9.71%)]