Bổ đề tiếp tuyến trong đồng dư đa thức

[fatalhans]

Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $m$ là số nguyên dương, $x$ là số nguyên thỏa $x \equiv a\pmod m$, chứng tỏ rằng
\[P(x) \equiv P(a) + (x - a)P'(a)\pmod{m^2}.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Bổ đề này em có thể chứng minh bằng các kết quả sau:

Với mọi đa thức nguyên $P(x)$ và $a\ne b$ nguyên thì $a-b|P(a)-P(b)$.

Nếu $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ và $k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thì $\frac{{{P}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}\in \mathbb{Z}$ với mọi ${{x}_{0}}\in \mathbb{Z}$ (do tích của $k$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $k!$, mà đạo hàm cấp $k$ thì chứa các tích đó).

Khai triển Taylor của đa thức tại $x={{x}_{0}}$:
\[P(x)=P({{x}_{0}})+\frac{{P}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\frac{{P}''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots +\frac{{{P}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}.\]

Từ những điều trên, xét $x=a+pt$ với $t\in \mathbb{Z}$ thì dễ dàng có

\[P(x)\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt+\underbrace{{P}''({ {x}_{0}}){{(pt)}^{2}}+\cdots }_{\vdots {{p}^{2}}}\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt(\bmod {{p}^{2}}). \]

Đây là cơ sở của bổ đề Hensel, dùng để chứng minh tồn tại hoặc đếm số nghiệm của PT đồng dư với modulo là lũy thừa của số nguyên tố.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thụy An]

Nguyên văn bởi fatalhans

Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $p$ là số nguyên tố và $x \equiv a\pmod p$, chứng tỏ rằng
\[P(x) \equiv P(a) + (x - a)P'(a)\pmod{p^2}\]

Do tính đóng của các phép toán số học với quan hệ đồng dư, nên thực chất bổ đề này chỉ cần chứng minh với trường hợp $P(x)=x^n$. Lúc đó, chỉ cần viết ra hằng đẳng thức sau là thấy ngay\[{x^n} = {a^n} + \left( {x - a} \right)n{a^{n - 1}} + \left( {x - a} \right)\sum\limits_{1 \le k \le n - 1} {\left( {{x^k} - {a^k}} \right)a^{n-k-1}} .\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]