Giới hạn tổng quát

**novae** · 31-07-2010, 08:54 PM

CMR:
$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left ( \sqrt[m]{1+\frac{k^{m-1}}{n^m}}-1 \right)=\frac{1}{m^2}$
trong đó $m$ là một số nguyên dương cho trước

123456 · 31-07-2010, 10:42 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

CMR:
$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left ( \sqrt[m]{1+\frac{k^{m-1}}{n^m}}-1 \right)=\frac{1}{m^2}$
trong đó $m$ là một số nguyên dương cho trước

Bài này có thể giải như sau:
Đặt $S_n=\sum_{k=1}^n\left ( \sqrt[m]{1+\frac{k^{m-1}}{n^m}}-1 \right)$
Xét hàm $f(x)=(1+x)^{\frac{1}{m}}$ , dùng khảo sát hàm số ( do $m\geq 1$ ) ta có
$1+\frac{x}{m}-\frac{m-1}{2m^2}x^2\leq f(x)\leq 1+\frac{x}{m}, \forall x\geq 0$
với $x=\frac{k^{m-1}}{n^m}$ ta có
$1+\frac{1}{m}\frac{k^{m-1}}{n^m}-\frac{m-1}{2m^2}\frac{k^{2m-2}}{n^{2m}}\leq (1+\frac{k^{m-1}}{n^m})^{\frac{1}{m}}\leq 1+\frac{1}{m}\frac{k^{m-1}}{n^m}$
do đó
$\frac{1}{m}\sum_{k=1}^n\frac{k^{m-1}}{n^m}-\frac{m-1}{2m^2}\sum_{k=1}^n\frac{k^{2m-2}}{n^{2m}}\leq S_n\leq\frac{1}{m}\sum_{k=1}^n\frac{k^{m-1}}{n^m}$
Ta có
$\sum_{k=1}^n\frac{k^{m-1}}{n^m}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\frac{k}{n})^{m-1}\to \int_0^1 x^{m-1}dx=\frac{1}{m}$
$0\leq\sum_{k=1}^n\frac{k^{2m-2}}{n^{2m}}\leq \frac{1}{n}\to 0$
do đó $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k^{2m-2}}{n^{2m}}=0$
Áp dụng nguyên lý kẹp ta có
$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{m^2}$

31-07-2010, 08:54 PM	#1
novae Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: vô cực Bài gởi: 290 Thanks: 11 Thanked 171 Times in 116 Posts	Giới hạn tổng quát CMR: $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left ( \sqrt[m]{1+\frac{k^{m-1}}{n^m}}-1 \right)=\frac{1}{m^2}$ trong đó $m$ là một số nguyên dương cho trước tổng quát dựa trên 2 kết quả sau: 1) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left ( \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1 \right)=\frac{1}{4}$ 2) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left ( \sqrt[3]{1+\frac{k^2}{n^3}}-1 \right)=\frac{1}{9}$ __________________ KEEP MOVING FORWARD

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây