Trích:
Nguyên văn bởi batigoal Đúng rồi, đề này cho tam giác nhọn. Nhân tiện minh bổ sung Thêm 1 bài BDT hình học nữa. Cho tam giác ABC nhọn, có độ dài các cạnh là a,b,c. P là nửa chu vi. CMR: $\sum_{cyc} (a+b)\sqrt{ab(p-a)(p-b)}\le 3abc $ |
Đặt $p-a=x,p-b=y,p-c=z $. Bất đẳng thức tương đương với:
$\sum {(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} } \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $
Theo BDT AM-GM, có:
$(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} \le \frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $
Nên
$ VT \le \sum {\frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $
$ \le \frac{{8xyz + 5(x + y)(y + z)(z + x)}}{2} \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]