Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-01-2013, 11:57 AM   #61
haptrung
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 99
Thanks: 16
Thanked 31 Times in 23 Posts
Cho a, b, c là các số thực không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng không. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}+\sqrt{\frac{b+2c}{b+2a }}+\sqrt{\frac{c+2a}{c+2b}}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
haptrung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-03-2013, 12:44 PM   #62
NLT
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 48
Thanks: 29
Thanked 13 Times in 11 Posts
Mọi người ai có tài liệu về phần này không ạ?
Hầu hết ý tưởng của các bài khá hay !
Ai có thì cho mình xin với nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
NLT is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-05-2013, 08:02 PM   #63
Tóc Ngắn
+Thành Viên+
 
Tóc Ngắn's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2013
Đến từ: Emirates
Bài gởi: 42
Thanks: 3
Thanked 20 Times in 12 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Bài 22:
Cho $0\leq a,b,c \leq 1$.Tìm max $P=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$
Ta có $a,b,c \in \left [ 0,1 \right ]\Rightarrow bc+1 \geq abc+1\Rightarrow \frac{a}{bc+1} \leq \frac{a}{abc+1}$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{bc+1} \leq \frac{a+b+c}{abc+1}$
Do đó ta sẽ chứng minh $\frac{a+b+c}{abc+1} \leq 2 \Leftrightarrow a+b+c \leq 2abc+2$
+) Nếu $a+b \leq 1\Rightarrow a+b+c \leq 2 \leq 2abc+2$
$\Rightarrow $ đpcm
+) Nếu $a+b \geq 1$
Ta có
$(1-a)(1-bc) \geq 0\Rightarrow 1+abc \geq a+bc$
$(1-b)(1-ac) \geq 0\Rightarrow 1+abc \geq b+ac$
Cộng 2 bđt trên lại ta $\Rightarrow 2+2abc \geq a+b+c(a+b) \geq a+b+c$, do $a+b \geq 1$ theo giả sử
Trong cả 2 TH ta đều có $\sum \frac{a}{bc+1} \leq \frac{a+b+c}{abc+1} \leq 2$
Dấu = xảy ra khi $(a,b,c)=(0;1;1)$ và các hoán vị của bộ số này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Tóc Ngắn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Tóc Ngắn For This Useful Post:
hoang_kkk (21-05-2013), hotraitim (28-05-2013)
Old 18-06-2013, 09:35 AM   #64
sieu dao chich
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gởi: 3
Thanks: 1
Thanked 1 Time in 1 Post
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq1$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
sieu dao chich is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to sieu dao chich For This Useful Post:
khucyeuthuong (05-09-2013)
Old 03-08-2013, 11:42 PM   #65
trongtri
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Đến từ: Trần Hưng Đạo - Bình Thuận
Bài gởi: 36
Thanks: 37
Thanked 20 Times in 15 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi sieu dao chich View Post
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1 $. Chứng minh rằng :
$10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq1 $
Ta nhận xét: $a,b,c $ thuộc khoảng $(0;1) $
TH1: Tồn tại một số $a \geq 0,6 $. Ta có:
$10(b^3+c^3)-9(b^5+c^5)>0 $ và $10a^3-9a^5>1 $

Nên $VT>1 $

TH2: $0<a,b,c<0,6 $
Ta chứng minh BĐT sau: $10t^3-9t^5\geq \frac{25t}{9}- \frac{16}{27} $ với mọi $0<t<0,6 $ $(*) $

Thật vậy:
$(*)<=>(t-\frac{1}{3})^2(243t^3+162t^2-189t-144)\leq 0 $ với mọi $0<t<0,6 $

Trong (*) thay t lần lượt bằng $a,b,c $ rồi cộng 3 BĐT theo vế ta được:
$10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq \frac{25(a+b+c)}{9}-\frac{16}{9}=1 $
------------------------------
Mình xin góp 1 bài
Cho $a,b,c $ là ba số thực dương thỏa điều kiện $ab+bc+ca\leq 2abc $. Tìm GTNN của biểu thức
$P=(a^3+b^3+c^3)+3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2})
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: trongtri, 04-08-2013 lúc 12:00 AM Lý do: Tự động gộp bài
trongtri is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to trongtri For This Useful Post:
khucyeuthuong (05-09-2013)
Old 04-08-2013, 09:07 AM   #66
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Bài 24 Cho các số thực dương $a,~b,~c$ đôi một khác nhau và thõa mãn $ab+bc=2c^2,~2a\leq c$ Tìm giá trị lớn nhất của $P$
$P=\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-c}+\dfrac{c}{c-a}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$Le~Thien~Cuong $
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Unknowing For This Useful Post:
khucyeuthuong (04-09-2013)
Old 04-09-2013, 05:55 PM   #67
khucyeuthuong
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Bài gởi: 68
Thanks: 54
Thanked 10 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Unknowing View Post
Bài 24 Cho các số thực dương $a,~b,~c$ đôi một khác nhau và thõa mãn $ab+bc=2c^2,~2a\leq c$ Tìm giá trị lớn nhất của $P$
$P=\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-c}+\dfrac{c}{c-a}$



Ta có $b=\frac {2c^2}{a+c}$, Vậy:
$$P=\frac{a^2+ac}{a^2+ac-2c^2}+\frac{3c}{c-a}$$
Xét hàm $f\left (c \right )=\frac{ac+a^2}{-2c^2+ac+a^2}+\frac{3c}{c-a}$ trên nửa khoảng $\left [2a;+\infty \right )$

Ta có $f'\left ( t \right )=\frac{2ac(c+2a)}{(a-c)(a+2c)}-\frac{3a}{\left ( a-c \right )^2}=\frac{a}{a-c}\left [ \frac{2c(c+2a)}{a+2c}-\frac{3a}{a-c} \right ]$, lại có $a< c$ (do $2a \leq c$) nên dễ dàng suy ra được $f'(t)< 0$, suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $\left [2a;+\infty \right )$, hay $f(t) \leq f(2a)=\frac{27}{5}$

Vậy $P\max =\frac{27}{5}$, khi $\left ( a;b;c \right )=\left ( a;2a;\frac{8}{3}a \right )$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khucyeuthuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to khucyeuthuong For This Useful Post:
Unknowing (08-01-2015)
Old 05-09-2013, 09:58 PM   #68
khucyeuthuong
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Bài gởi: 68
Thanks: 54
Thanked 10 Times in 7 Posts
Bài 25: Cho $f\left( \tan 2x \right)={{\tan }^{4}}x+\frac{1}{{{\tan }^{4}}x} với x\ \in \left( 0\ ;\ \frac{\pi }{4} \right)$. Tìm giá trị lớn nhất $f(\sin x) + f(\cos x)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khucyeuthuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-09-2013, 09:23 PM   #69
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khucyeuthuong View Post
Bài 25: Cho $f\left( \tan 2x \right)={{\tan }^{4}}x+\frac{1}{{{\tan }^{4}}x} với x\ \in \left( 0\ ;\ \frac{\pi }{4} \right)$. Tìm giá trị lớn nhất $f(\sin x) + f(\cos x)$
Đặt $t = \tan 2x$ suy ra $ t=\frac{2\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}$ nên $\frac{2}{t}=\frac{1}{\tan x}-\tan x$ $\Rightarrow \frac{4}{{{t}^{2}}}=\frac{1}{{{\tan }^{2}}x}+{{\tan }^{2}}x-2$
$\Rightarrow {{\left( \frac{4}{{{t}^{2}}}+2 \right)}^{2}}=\frac{1}{{{\tan }^{4}}x}+{{\tan }^{4}}x-4$ hay ${{\tan }^{4}}x+\frac{1}{{{\tan }^{4}}x}=\frac{16}{{{t}^{4}}}+\frac{16}{{{t}^{2}}} +2 = f(t)$
Nên: $f\left( \sin x \right)+f\left( \cos x \right)=16\left( \frac{1}{{{\sin }^{4}}x}+\frac{1}{{{\cos }^{4}}x} \right)+16\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right)+4$
$f\left( \sin x \right)+f\left( \cos x \right)=16.\frac{8}{{{\sin }^{2}}2x}+16.\frac{4}{\sin 2x}+4 \geq 196$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-05-2014, 09:13 AM   #70
CTK9
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gởi: 117
Thanks: 189
Thanked 65 Times in 27 Posts
Thanks mọi người, topic hữu ích quá, xin đóng góp một bài:
Bài 26) Cho $a, b, c \in [1, 3]$ thỏa mãn: $a + b + 2c = 6$. Tìm min, max:
$P = a^3 + b^3 + c^3$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: CTK9, 04-05-2014 lúc 09:23 PM Lý do: Quên đánh số bài
CTK9 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-05-2014, 10:41 PM   #71
CTK9
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gởi: 117
Thanks: 189
Thanked 65 Times in 27 Posts
Như đã nói, mình sẽ đưa ra lời giải cho bài toán trên. Thực sự thì bài 26 không khác mấy với bài 2 nhưng vì có cách tiếp cận khác nên mình sẽ đưa ra đây chi tiết:
Tìm min, ta có:
\[a^3 + \alpha^3 + \alpha^3 \geq 3\alpha^2a\]
\[b^3 + \beta^3 + \beta^3 \geq 3\beta^2b\]
\[c^3 + \gamma^3 + \gamma^3 \geq 3\gamma^2c\]
Để ý rằng dấu bằng của ba đẳng thức trên xảy ra khi $a = \alpha, b = \beta, c = \gamma$ và theo đẳng thức đầu bài thì $a + b + 2c = 6$ nên ta sẽ cần có $\alpha + \beta + 2\gamma = 6$ và các số $\alpha, \beta, \gamma$ ta chọn làm điểm rơi cũng 'tỷ lệ' như là bộ số $a, b, c$ vậy, cụ thể là ta phải có:
\[\alpha = \beta, \alpha + \beta + 2\gamma = 6, 2\alpha^2 = 2\beta^2 = \gamma^2\]
Giải hệ này ta được: $\alpha = \beta = \dfrac{3}{\sqrt{2}+1}, \gamma = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} $
Tìm max:
Lời giải 1: dồn biến
Ta cm: $P(a, b, c) \leq P(1, a+b-1,c)$
Thật, vậy biến đổi ta được: $(a-1)(b-1) \geq 0$, đúng do điều kiện đề bài.
Mà $P(1, a+b-1, c) = 1+ (5-2c)^3 +c^3 = -7c^3+60c^2-150c-126$.
Công việc còn lại là khảo sát hàm số này. Đơn giản.
Lời giải 2: dựa vào phân tích Abel
Do ta đã dự đoán điểm rơi là $(a, b, c)$ = (1,3,1) hoặc (3,1,1) nên trước hết ta cm: với $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện đề ra thì: $a^2 + b^2 + c^2 \leq 11$
Đặt $x = a-1, y = b-1, z = c-1$ thì $x, y, z \in [0,2]$ và $x +y + 2z = 2$. Do vai trò bình đẳng của $a,b$ nên ta giả sử $a \geq b$ hay $x \geq y$
Ta có: $a^2 + b^2 + c^2 \leq 11
\iff x^2+y^2+z^2+x+y\leq 6$. Mà:
$x^2+y^2+z^2+x+y = (x+1)x + (y+1)y+\dfrac{z}{2}2z = (x-y)x+(y+1-\dfrac{z}{2})(x+y)+\dfrac{z}{2}(x+y+2z)\leq 2(x-y) + 2(y+1-\dfrac{z}{2}) + \dfrac{z}{2}2 = 2x+2 \leq 6$ (chú ý: $x \geq y, y+1- \dfrac{z}{2}\geq 0, x + y+2z =2$)
Tiếp theo ta cm: $a^3 + b^3 + c^3 \leq 29$. Ta có:
$a^3 + b^3 + c^3 = (a-b)a^2 + (b-c)(a^2 +b^2)+c(a^2 + b^2 + c^2)\leq(x-y)(x+1)^2 + (y-z)((x+1)^2 + (y+1)^2)+ 11(z+1)$(do$a^2 + b^2 + c^2 \leq 11$)
Đến đây chú ý $(x+1)^2 \leq 9, (x+1)^2+(y+1)^2\leq 10$, xét hai trường hợp $y\leq z$, $y\geq z$ và chú ý$x+y+2z = 2$, ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
CTK9 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:13 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 85.85 k/98.17 k (12.55%)]