|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
|
11-01-2012, 11:46 AM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | [VMO 2012] Bài 3 - Hình học Bài 3 (5 điểm) . Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD $ nội tiếp đường tròn tâm $O $ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N $ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB $ và $CD $, $AD $ và $BC $. Gọi $P, Q, S, T $ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\angle MAN $ và $\angle MBN $, $\angle MBN $ và $\angle MCN $, $\angle MCN $ và$ \angle MDN $, $\angle MDN $ và $\angle MAN $. Giả sử bốn điểm $P, Q, S, T $ đôi một phân biệt. 1) Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, S, T $ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I $ là tâm của đường tròn đó. 2) Gọi $E $ là giao điểm của các đường chéo $ AC $ và $BD $. Chứng minh rằng ba điểm $E, O, I $ thẳng hàng. thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 13-01-2012 lúc 07:04 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: | hoduckhanhgx (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012) |
11-01-2012, 12:34 PM | #2 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Bài này thuần tính góc =.=. 1. Ta có $\angle STP=\angle ATD=180^o-\angle TAD-\angle TDA , \left | \right |\angle SQP=\angle BQC=180^o-\angle QBC-\angle QCB $Dễ dàng thấy suy ra $\angle STP=\angle SQP $ nên $P,Q,S,T $ đồng viên 2. Kết quả quen thuộc là EO vuông góc với MN (Định lý Brokard). Ta đi cm MN vuông góc với OI. Thấy rằng (P,S,N), (Q,T,M) thẳng hàng và Tứ giác QTAB,PSBC nội tiếp Suy ra $MT.MQ=MA.MB $ nên M thuộc trục đẳng phương của (O) và (I). N cũng vậy, do đó MN vuông góc với OI. Hình vẽ, thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2012 lúc 12:47 PM |
The Following 5 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: | alibaba_cqt (11-01-2012), hoduckhanhgx (11-01-2012), huynhcongbang (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012), tangchauphong (11-01-2012) |
11-01-2012, 12:35 PM | #3 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Bài hình năm nay tương đối đơn giản (đối với người ngồi ở nhà như mình ) hy vọng các anh chị đi thi làm tốt. câu a) Không mất tính tổng quát giả sử $M $ và $N $ nằm cùng phía với A đối với đường thẳng BD. Sử dụng biến đồi góc ta có: $\widehat{QST} = \frac{1}{2}(\widehat{ADM} - \widehat{BCD}) = \frac{1}{2}\widehat{CND} $ Chứng minh tương tự ta cũng có: $\widehat{QPT} = \frac{1}{2}\widehat{CND} $ Từ đó suy ra 4 điểm$ Q, S, P, T $nằm trên một đường tròn. b) Biến đổi góc tương tự câu a ta nhận được các kết quả sau: $\widehat{STR} = \frac{1}{2}\widehat{AMD},\widehat{STQ} = \frac{1}{2}\widehat{DAM} $ Suy ra $\widehat{BQT} = \frac{1}{2}(\widehat{DAM} + \widehat{AMD} + \widehat{DNA}) = \frac{1}{2}\widehat{BAD} $ Từ đó suy ra được$ \widehat{BQT} + \widehat{BAT} = 180^0 $ hay $Q, T, A, B $ nằm trên một đường tròn. ta lại có: $\widehat{BQM} = \frac{1}{2}(\widehat{ABC} + \widehat{AMC}) = \frac{1}{2}\widehat{BAD} $ Nên $\widehat{BQT} = \widehat{BQM} $ hay$ Q, T, M $ thẳng hàng do đó $\overline{MT}.\overline{MQ} = \overline{MA}.\overline{MB} $ suy ra M có cùng phương tích với hai đường tròn $(O) $và $(I) $ Tương tự thì $M $ cùng có cùng phương tích với $(O) $ và $(I) $ Suy ra $MN \perp OI $ Mặt khác theo định lí Procard (cái này chúng minh đơn giản bằng phương tích) thì $OE \perp MN $ Từ đó suy ra dpcm. __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu thay đổi nội dung bởi: thephuong, 11-01-2012 lúc 12:38 PM |
The Following 3 Users Say Thank You to thephuong For This Useful Post: |
11-01-2012, 12:37 PM | #4 |
Administrator | Vừa vẽ xong cái hình mà mấy bạn này đã giải hết cả rồi. Thôi up lên cho mọi người xem vậy. Bài hình năm nay cũng tương đối dễ. Chắc hầu hết làm được câu a. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 11-01-2012 lúc 12:47 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | nhox12764 (11-01-2012), secret_secret (11-01-2012) |
11-01-2012, 12:44 PM | #5 |
Maths is my life | Ơ em chưa kịp vẽ hình . Xong 3 câu còn 5 phút ặc ặc. Cái topic chém gió ở chỗ nào ấy nhỉ __________________ http://luongvantuy.org/forum.php |
11-01-2012, 12:59 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 255 Thanks: 42 Thanked 445 Times in 186 Posts | Câu a) Có thể quy về hết về các góc của tứ giác $ABCD $ như sau: +) Xét tam giác $PAB $ ta có: $\angle{APB} = 180^0-\angle{PAB}-\angle{PBA}=180^0-\frac{\angle{C}}{2}-\angle{D}-\frac{\angle{B}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $ +) Xét tam giác $SCD $ ta có $\angle{CSD} = 180^0-\angle{SDC}-\angle{SCD}=180^0-\frac{\angle{D}}{2}-\angle{C}-\frac{\angle{A}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $ Từ hai ý trên ta có: $\angle{APB}=\angle{CSD} $ hay $PSTQ $ là tứ giác nội tiếp. Câu b) Chỗ chứng minh $OI\perp MN $ giống n.v.thanh ở trên nhưng chỗ $OE\perp MN $ thay bằng dùng cực và đối cực cho nhanh từ đó suy ra O, I, E thẳng hàng. __________________ $-1=(-1)^3=(-1)^{\frac{6}{2}}=(-1)^{6.\frac{1}{2}}=\left [(-1)^6 \right ]^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1 $ http://www.youtube.com/watch?v=HVeQAuI3BQQ thay đổi nội dung bởi: alibaba_cqt, 11-01-2012 lúc 02:26 PM |
11-01-2012, 01:39 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Đến từ: THPT Chuyên Chu Văn AN-Lạng Sơn Bài gởi: 6 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts | VMO bài 3 (2012) Điểm nhấn của bài toán thực ra là ở việc dự đoán được OE vuông góc với MN. Sau đó phải biết sử dụng tính chất của đường tròn bàng tiếp để chứng minh các điểm thẳng hàng. Sau đây mình xin gửi các bạn File PDF của bài giải. thay đổi nội dung bởi: dung247, 11-01-2012 lúc 02:34 PM |
The Following User Says Thank You to dung247 For This Useful Post: | ngocson_dhsp (12-01-2012) |
11-01-2012, 04:11 PM | #8 | |
Banned Tham gia ngày: Jan 2012 Bài gởi: 34 Thanks: 44 Thanked 5 Times in 4 Posts | Trích:
| |
12-01-2012, 05:32 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Việt Nam Bài gởi: 5 Thanks: 28 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
| |
12-01-2012, 06:18 PM | #10 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Thật ra các lời giải trên này chỉ là để cho đa số mọi người đều hiểu thôi, chứ nên dùng góc định hướng cho không bị phụ thuộc hình vẽ __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu |
11-01-2012, 04:13 PM | #11 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Chứng minh Brocard dễ |
11-01-2012, 04:16 PM | #12 |
Banned Tham gia ngày: Jan 2012 Bài gởi: 34 Thanks: 44 Thanked 5 Times in 4 Posts | |
11-01-2012, 04:26 PM | #13 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Dựa vào cài kết quả này thôi (cái này các bạn tự chứng minh, nó thuộc dạng sơ cấp) $A, B, C, D $thuộc một đường tròn $(O) $. $AB $ cắt $CD $ tại $E, AD $ cắt $BC $tại $F $ thì $EF^2 = P_{E/(O)} + P_{F/(O)} $ Kết hợp thêm cái này nữa là chứng minh được: $A, B, C, D $ là bốn điểm trên mặt phẳng thì: $AB \perp CD \Leftrightarrow AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2 $ __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu |
The Following 2 Users Say Thank You to thephuong For This Useful Post: | ngocson_dhsp (11-01-2012), tangchauphong (11-01-2012) |
11-01-2012, 04:19 PM | #14 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Đến từ: Thanh Hoá Bài gởi: 295 Thanks: 266 Thanked 145 Times in 96 Posts | Định lí Brocard có cách chứng minh chỉ bằng kiến thức THCS cũng khá ngắn gọn [Only registered and activated users can see links. ] __________________ L.T.L |
11-01-2012, 07:24 PM | #15 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts | Bài hình này trên tạp chí CRUX MATH, thảo nào lúc đầu đọc MS cứ thấy quen quen |
The Following 3 Users Say Thank You to Mr Stoke For This Useful Post: |
Bookmarks |
|
|