Có bài cần hỏi - Cao học viện Toán 1999

mrvuive · 17-08-2008, 04:07 PM

Mình có bài toán thấy khó quá mong mọi người giải đáp giùm:
Một nhóm Abel được gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành tổng trực tiếp của 2 nhóm con thực sự. Chứng minh rằng:
a) Nhóm cộng $Z_p $ là bất khả quy khi và chỉ khi p là số nguyên tố.
b) nhóm cộng các số nguyên Z là bất khả quy.
(Bài này là đề thi cao học Viện toán 1999). :rokeyrulez:

Vũ Trung Bồn · 17-08-2008, 10:06 PM

1 Nếu p không nguyên tố thì p=ab (Trong đó a,b nguyên tố cùng nhau
Xét tự đẳng cấu F Zp -> Za X Zb như sau
F(1p) =(1a,1b)
Dễ ràng nhận thấy đây là một tự đẳng cấu
Nghĩa là Zp=Za X Zb không khả quy
2 Giả sử Z =A X B
Suy ra F 1z ->(1a,1b)
Nhóm A,B phải có một nhóm vô hạn nếu không thì
A X B là hữu hạn nhưng khi đó Có thể A là vô hạn thì A đẳng cấu nhóm Z vậy thì Z phải là bất khả quy

17-08-2008, 04:07 PM	#1
mrvuive +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 7 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Có bài cần hỏi - Cao học viện Toán 1999 Mình có bài toán thấy khó quá mong mọi người giải đáp giùm: Một nhóm Abel được gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành tổng trực tiếp của 2 nhóm con thực sự. Chứng minh rằng: a) Nhóm cộng $Z_p $ là bất khả quy khi và chỉ khi p là số nguyên tố. b) nhóm cộng các số nguyên Z là bất khả quy. (Bài này là đề thi cao học Viện toán 1999). :rokeyrulez:

17-08-2008, 10:06 PM	#2
Vũ Trung Bồn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2008 Bài gởi: 43 Thanks: 2 Thanked 2 Times in 2 Posts	1 Nếu p không nguyên tố thì p=ab (Trong đó a,b nguyên tố cùng nhau Xét tự đẳng cấu F Zp -> Za X Zb như sau F(1p) =(1a,1b) Dễ ràng nhận thấy đây là một tự đẳng cấu Nghĩa là Zp=Za X Zb không khả quy 2 Giả sử Z =A X B Suy ra F 1z ->(1a,1b) Nhóm A,B phải có một nhóm vô hạn nếu không thì A X B là hữu hạn nhưng khi đó Có thể A là vô hạn thì A đẳng cấu nhóm Z vậy thì Z phải là bất khả quy