|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
25-08-2010, 10:14 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Đến từ: Soc Trang Bài gởi: 12 Thanks: 4 Thanked 0 Times in 0 Posts | Bài số học khó Có ai giúp mình với, không suy nghĩ ra cách giải. 1. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố dạng 4k+3 và q=2p+1 cũng là số nguyên tố thì $q | M_p $ với $M_p = 2^p - 1 $ 2. Chứng minh $47 | M_{11} $ |
26-08-2010, 12:47 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: CSP_Xuân Thủy Bài gởi: 152 Thanks: 142 Thanked 128 Times in 78 Posts | Đây là kiến thức về số chính phương mod $p $ Vì $p = 4k +3 $ nên $q = 8k +7 \Rightarrow (\frac{2}{q}) = 1 \Rightarrow 2^{\frac {q-1}{2}} \equiv 1 (q) \Rightarrow q | 2^p -1 $ Mình dùng máy tính thì thấy $2^{11} -1 $ đâu có chia hết cho $47 $ |
The Following 3 Users Say Thank You to lady_kom4 For This Useful Post: |
27-08-2010, 10:07 PM | #3 |
Administrator | Bài này mình thấy có thể giải bằng cách dùng các định lí quen thuộc thế này: Do $q=2p+1 $ là số nguyên tố nên theo định lí Euler: $2^{\varphi (q)}\equiv 1(modq) $. Hơn nữa: $\varphi (q)=q-1=2q $, suy ra: $2^{2p}\equiv 1(modq)\Rightarrow (2^{2p}-1)\vdots q\Rightarrow (2^p-1)(2^p+1)\vdots q $. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $2^p+1 $ không chia hết cho $2p+1 $. Thật vậy: Giả sử ngược lại, tồn tại h nguyên dương sao cho $2^p+1=h(2p+1) $, dễ thấy: $2^p=2^{4k+3}=8.16^k\equiv 2(mod3)\Rightarrow 2^p+1\vdots 3 $, do đó h chia hết cho 3. Theo định lí Fermat nhỏ thì: $2^p - 2 $ chia hết cho p, đặt $2^p-2=m.p\Rightarrow 2^p=mp+2 $, ta cũng có m chia hết cho 3; ta được: $h(2p+1)-1=mp+2\Leftrightarrow p(2h-m)+h=3 $. Do p là số nguyên tố có dạng $4k+3 $ nên $p \ge 3 $, từ đó suy ra đẳng thức trên không thể xảy ra, tức là: $2^p+1 $ không chia hết cho $2p+1 $ hay $2^p-1 $ chia hết cho q. Ta có đpcm. Câu 2 có thể là 1 ứng dụng trực tiếp của câu 1 nhưng cần phải có là: $47|M_{23} $ hoặc $23|M_{11} $ chứ không phải là $47|M_{11} $. thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 28-08-2010 lúc 12:36 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | daylight (10-09-2010), leledaiquang (28-08-2010) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|