|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
12-01-2012, 11:36 AM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | [VMO 2012] Bài 6 - Số học Bài 6 (7 điểm) Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi $v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $. thay đổi nội dung bởi: truongvoki_bn, 12-01-2012 lúc 12:21 PM Lý do: Sửa lại đề |
The Following 4 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: |
12-01-2012, 11:37 AM | #2 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Cái này chả là nghiệm của pt Markov $a^2+b^2+2=k.ab $ à |
12-01-2012, 11:38 AM | #3 |
Maths is my life | Bài này quen quá mà :-ss __________________ http://luongvantuy.org/forum.php |
12-01-2012, 11:40 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Bài gởi: 26 Thanks: 0 Thanked 12 Times in 9 Posts | Bài này Viet nhay khá là quen |
12-01-2012, 11:58 AM | #5 | |
Administrator | Trích:
Điều kiện đủ là một kết quả quen thuộc về dãy số: Các số hạng của dãy $(v_n) $ thoả mãn điều kiện: $v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $. __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
12-01-2012, 12:00 PM | #6 |
Maths is my life | Chuyển về đưa về dạng $v_{n-2}=4v_{n-1}-v_n $ là thành điều kiện tương đương luôn mà anh __________________ http://luongvantuy.org/forum.php |
12-01-2012, 12:10 PM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 9 Thanks: 12 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
$v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $ nhưng không chứng minh được phần sau thì có được điểm không ạ? | |
12-01-2012, 12:11 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: vô gia cư Bài gởi: 157 Thanks: 28 Thanked 55 Times in 36 Posts | sai đề rùi tí làm tớ hoảng __________________ No spam! |
12-01-2012, 12:12 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 9 Thanks: 12 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
$v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $ mới đúng ạ. | |
12-01-2012, 03:20 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Đến từ: Heaven Bài gởi: 166 Thanks: 44 Thanked 68 Times in 49 Posts | BÀi này mình chứng minh 3 bước: i, Tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-kab+2=0 $. ii, k=4. iii, Tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-4ab+2=0 $ đều có dạng $\left ( v_n,v_{n+1} \right ) $. __________________ thay đổi nội dung bởi: crazy_nhox, 12-01-2012 lúc 05:07 PM |
12-01-2012, 03:44 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Đến từ: Yên Bái Bài gởi: 2 Thanks: 4 Thanked 1 Time in 1 Post | Các anh chị ơi nếu em chỉ xét rằng k chẵn, xét trường hợp k = 4 mà chưa chứng minh cho k=4 thì có được điểm nào không ạ. |
12-01-2012, 04:53 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Kiên Giang Bài gởi: 6 Thanks: 42 Thanked 4 Times in 3 Posts | Bài giải 6 Bài giải hơi dài, check hộ nhé. Có cách nào ngắn hơn không nhỉ? |
The Following 2 Users Say Thank You to anhdunghmd For This Useful Post: | Thanh vien (13-01-2012), TKT (12-01-2012) |
12-01-2012, 06:04 PM | #14 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Ta chỉ xét trường hợp cả $a $ và $b $ đều > 1 Nhận xét 1: $(a,b) = 1 $ thật vậy nếu $(a,b) = d > 1 $ thì do $a $ và $b $ đều lẻ nên $d \ge 3 $. Mà theo đề bài thì $b^2 + 2 $ chia hết cho $a $, do đó $2 $ chia hết cho $d $. vô lý Nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $. Thật vậy, do $a^2 + 2 $ chia hết cho $b $ nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $b $, tuông tự a^2 + b^2 + 2 chia hết cho a. Ngoài ra theo nhận xét $1 $ thì $(a,b) = 1 $, nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $. Hệ quả của nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 = kab $ với $k $ nào đó nguyên dương. Nhận xét 3: nếu $a>b $ thì $(k-1)b < a < kb $ Thật vậy, $a^2 - (k-1)ab = ab - b^2 - 2 = (a-b)b^2 - 2 > 0 $. nên $a > (k-1)b $. Và, $a^2 < kab $ nên $a < kb $ Nhận xét 4: nếu $(a_0,b_0) $ với $a_0 > b_0 $ thỏa mãn $a_0^2 + b_0^2 + 2 = ka_0b_0 $ thì $(b_0,kb_0-a_0) $ cũng thỏa mãn. Với nhận xét 1 đến 4 thì ta sẽ thu được dãy $(a_n,b_n) $ với $a_{n+1} = b_n $ và $b_{n+1} = kb_n-a_n $. Dãy đó sẽ dừng khi $b_n = 1 $ với $n = n_0 $ nào đó. Ta sẽ chứng minh lúc đó $a_n = 3 $. Thật vậy: $a_n^2 + b_n^2 + 2 = $ $ka_nb_n $ nên $a_n^2 + 3 = ka_n $. Do đó $a_n | 3 $ mà $a_n > 1 $ nên $a_n = 3 $. và $k = 4 $ Vậy ta có $a_{n_0} = 3, b_{n_0} = 1 $ Đặt $v_{1} = 1, v_{2} = b_{n_0} = 1 $. Ta có $a_{n_0} = 3 = v_{3}. $ $ b_{n_0-1} = a_{n_0} = v_{3}; a_{n_0-1} = 4b_{n_0-1} - b_{n_0} = v_{4} $. Cứ như thế ta có $a_0 $ và $b_0 $ là phần tử của dãy $v_n $ __________________ Traum is giấc mơ. |
The Following 6 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post: | anhdunghmd (12-01-2012), bboy114crew (20-08-2012), crazy_nhox (12-01-2012), iron-army (26-09-2012), supermouse (13-01-2012), TKT (12-01-2012) |
12-01-2012, 06:17 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts | Bạn nào cần tìm hiểu thêm về phương pháp trên có thể Google với từ "Vieta jumping". __________________ T. |
The Following User Says Thank You to n.t.tuan For This Useful Post: | AnhIsGod (12-01-2012) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|