Một số bài tập về nhóm

[99]

Chú lưu ý dùng từ : nên dùng từ "các" thay cho từ "bọn", với nhỏ hay lớn đều phải vậy. Chỉ có mình nói về bản thân mình mới được dùng từ đó thôi. OK?

Ở lớp cao học quốc tế, có lẽ là sẽ không theo nguyên một quyển sách nào cả, thường là kết hợp vài cuốn lại với nhau thì mới tốt. Giảng theo một cuốn sách như cách giảng thông thường ở VN sẽ dễ sinh ra tật lười : đọc trước ở nhà và không cần đến lớp.

Bài của chú anh thắc mắc là vì nó suy trực tiếp từ định nghĩa, anh không thích mấy bài như thế nên anh có ý kiến

Mấy bài sau anh chép từ sách của Lang ra, có bài dễ, có bài khó, nhưng đều là bài đáng làm. Bài dễ nhưng chứa kỹ thuật giải bài cũng là bài tập đáng làm.

Bài 12 không khó nhưng mà nhờ bài ý ta có thể tổng kết đôi chút kiến thức nhóm.

Tối anh sẽ giải vài bài cho nó có tý không khí trao đổi "thực sự"
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Hôm qua mệt quá 99 ngủ béng từ lúc 7h00 tối . Nên sáng nay xin đóng góp lời giải một bài

Bài 2 :

Nhận xét $99 = 3^2.11 $ . Giả sử G là nhóm có 99 phần tử.

Theo định lý Sylow, G có các 3-nhóm con Sylow H và 11-nhóm con Sylow là K.

Số các nhóm con Sylow liên hợp với H là ước của cấp của G ( = 99) và đồng dư 1 mod 3. Tính toán trực tiếp ta thấy các ước của G không chia hết cho 3 là 1 và 11. Do đó số 3-nhóm con Sylow của G là một, vì vậy $H\lhd G $. Tương tự số nhóm con Sylow liên hợp với K là ước của 99 và đồng dư 1 mod 11. Suy ra số nhóm này là 1, vậy $K\lhd G $.

H và K đều là nhóm con chuẩn tắc của G. Ta suy ra $G \cong H\times K $. Tiếp tục dùng phân loại nhóm abel hữu hạn, ta suy ra $H \cong \mathbb{Z}_9 $ hoặc $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3 $

Vậy $G\cong \mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_{11} $ hoặc $G\cong \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_{11} $

Bài 3 là hệ quả của bài toán sau :

Giả sử $G $ là một nhóm thỏa mãn $G/Z(G) $ là cyclic. Chứng minh $G $ là nhóm abel. Ở đây $Z(G) $ là tâm nhóm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi 99

Bài 3 là hệ quả của bài toán sau :

Giả sử $G $ là một nhóm thỏa mãn $G/Z(G) $ là cyclic. Chứng minh $G $ là nhóm abel. Ở đây $Z(G) $ là tâm nhóm.

Lời giải bài toán :

Gọi phần tử sinh của $G/Z(G) $ là $gZ(G) $ với $g\in G $ nào đó. Giả sử $a $ và $b $ là hai phần tử bất kỳ của $G. $

Khi đó $aZ(G) = g^nZ(G) $ và $bZ(G) = g^mZ(G) $. Tức là tồn tại $x,y\in Z(G) $ thỏa mãn $a=g^nx $ và $b=g^my $.

Khi đó $a.b = (g^nx)(g^my) = g^{n+m}xy = g^myg^nx $, do các phần tử của Z(G) là giao hoán với mọi phần tử của $G. $

Vậy G là nhóm abel.

Từ đó ta thu được lời giải bài 3.

Giả sử $G $ là nhóm có $p^2 $ phần tử, với $p $ là số nguyên tố nào đó. Khi đó $Z(G) $ là không tầm thường. Vì vậy $G/Z(G) $ có cấp là $1 $ hoặc $p. $ Trong cả hai trường hợp, $G/Z(G) $ đều là nhóm abel. Vì vậy, $G $ là nhóm abel.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi thangk50

Nghiên cứu phần lý thuyết module cũng hay và rộng hơn phần lý thuyết nhóm

Nếu bác thấy hay thì bày cho anh em một ít, chứ 99 chưa làm nghiên cứu, nên lóc cóc tập tành tý bài tập ý mà

Nguyên văn bởi 99

Bài 4. Cho nhóm đơn G không giao hoán có chứa một nhóm con chỉ số n>2. Chứng minh rằng tồn tại nhúng $ G \to A_n $ với $A_n $ là nhóm thay phiên.

Lời giải bài 4.

Giả sử $H $ là nhóm con của $G $ có chỉ số $n. $ Ký hiệu $G/H $ là tập các lớp kề trái.

Trên tập hợp này, xét các phép "tịnh tiến" \tau_a với a\in G như sau : $xH\mapsto axH $. Đây là một song ánh trên $G/H $ vì vậy, $\tau_a\in S(G/H)\cong S_n $.

Ký hiệu $\phi : G\to S(G/H) $ , $\phi(a) = \tau_a $. Khi đó \phi là một đồng cấu nhóm từ $G\to S_n $.

Xét $N = Ker\phi \lhd G $. Dễ thấy $N \subset H $. Vì thế, $N\neq G $ và do $G $ là nhóm đơn nên ta suy ra $N $ là tầm thường. Từ đó suy ra $\phi : G\to S_n $ là đơn cấu nhóm. Như vậy ta có thể coi $G $ là nhóm con của $S_n $.

Khi đó ta xét $H := \{\sigma\in G : sgn(\sigma) = 1\} \lhd G $ do chỉ số của $H $ trong $G $ nhỏ hơn hoặc bằng $2. $ Do G đơn và có nhiều hơn 3 phần tử, nên $H = G $. Do đó $G\leq A_n $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi 99

Bài 5. Giả sử G là nhóm có 6 phần tử. Chứng minh rằng $ G $ là $ S_3 $ hoặc $ \mathbb{Z}_6 $

Lời giải bài 5.

Nếu $G $ là nhóm abel thì theo như phân loại nhóm abel, $G\cong \mathbb{Z}_6 $.

Nếu $G $ không abel, ta suy ra, theo định lý Cauchy, $G $ có một phần tử cấp $2 $ và một phần tử cấp $3. $

Ký hiệu phần tử cấp $2 $ là $a $ và phần tử cấp $3 $ là $b. $ Khi đó $G=\{1, b, b^2, a, ab, ab^2\} $

Dễ thấy rằng $ba \not\in <b>\cup \{a\} $. Ta có $ba \neq ab $, vì nếu điều này xảy ra, G sẽ là nhóm abel.
Vì vậy $ba = ab^2 $.

Xét tương ứng $S_3\to G $ : $(1 2 3 ) \mapsto b $ và $(1 2) \mapsto a $. Tương ứng này cảm sinh đẳng cấu nhóm.

Tóm lại, $G \cong \mathbb{Z}_6 $ hoặc $S_3. $

Định lý Cauchy : Nếu $G $ là nhóm hữu hạn và $p $ là một ước nguyên tố của cấp của $G, $ thì $G $ có một phần tử cấp $p. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi 99

Bài 7. Chứng minh rằng $A_4 \not\cong D_{12} $ , ở đây $D_{12} $ là nhóm dihedral cấp 12.

Ta có thể chứng minh $A_4 $ không có phần tử cấp $6, $ khi đó đương nhiên sẽ không đẳng cấu với $D_{12}. $ Để chứng minh điều đó, ta có thể dùng kết quả là cấp của mỗi hoán vị bằng bội chung nhỏ nhất của các độ dài của các r-xích (r-cycle). Vì nhóm $A_4 $ chứa các hoán vị của tập hợp $\{1,2,3,4\} $, nên độ dài các xích là 1,2,3,4. Thử trực tiếp thấy không thể có hoán vị nào cấp 6.

Ta chứng minh kết quả thú vị hơn : $A_4 $ không có nhóm con cấp 6.

Để chứng minh kểt quả này, ta sử dụng kết quả sau :

Giả sử $H $ là nhóm con của $G $ có chỉ số $2. $ Khi đó với mọi $x\in G $ ta có $x^2 \in H $ và $H\lhd G $.

Lời giải :

Giả sử $A_4 $ có nhóm con $H $ cấp $6, $ vì vậy $H $ có chỉ số $2. $ Nếu p là một 3-xích, khi đó $p $ có cấp $3 $ và do đó $p = p^4 = (p^2)^2 \in H $. Vì vậy mọi 3-xích đều thuộc H. Mà số các 3-xích trong $A_4 $ là $2C^3_4= 8 $ lớn hơn cấp của H. Điều này gây mâu thuẫn.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Làm xong mới biết đây là bài tập số 10
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[baotramht1]

Giải bài 12
Hiển nhiên nhóm cấp 1 là nhóm giao hoán. Các nhóm cấp 2,3,5 (cấp nguyên tố) là các nhóm xyclic nên chúng aben.
Đối với nhóm cấp 4: Giả sử G là nhóm cấp 4. Nếu G có một phần tử cấp 4 thì G là nhóm xyclic, do đó G là nhóm aben. Giả sử G không có phần tử nào cấp 4 thì G có ba phần tử cấp 2, kéo theo mọi phần tử của G đều có cấp 2, vậy G là nhóm aben. Xong!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

Nhóm cấp 15 theo định lý sylow thì có nhóm cấp 5 là nhóm con chuẩn tắc và đó là nhóm cylic sinh bởi <a>,coi là nhóm H .Dẽ dàng chứng minh nhóm đó là nhóm con chuẩn tắc G .G/H là nhóm cylic cấp 3 sinh bởi đại diện là b thế thì $bab^{-1}=a^{x} $.Dĩ nhiên ta có thể $ 0\leq x \leq 4 $
Từ đó có thể chứng minh $b^{3}ab^{-3}=a^{x^{3}}->a=a^{x^{3}} $.Nghĩa là $x^{3}-1 $ chia hết cho 5 ->x=1.Vậy là x=1,hay là $bab^{-1}=a $,a và b giao hoán ab cấp 15 là nhóm G là nhóm abel
Ta có $bab^{-1}=a^{x}->b(bab^{-1})b^{-1}=ba^{x}b^{-1}=(bab^{-1})^{x}=(a^{x})^{x}=a^{x^{2}} $
Từ đó có kết quả nhẹ nhàng hơn
$b^{2}ab^{-2}=a^{x^{2}}->b^{3}ab^{-3}= b(b^{2}ab^{-2})b^{-1}=b(a^{x^{2}})b^{-1}=(ba^{x^{2}}b^{-1})^{x}=(a^{x^{2}})^{x}=a^{x^{3}} $
Như vậy ta có đẳng thức nếu có $bab^{-1}=a^{x}->b^{n}ab^{-n}=a^{x^{n}} $

Nếu nhìn kỹ ta có thể biễu diễn mọi nhóm cấp pq với p ,q là số nguyên tố theo quan hệ như nhóm cấp 21
ta chỉ quan tâm phương trình đồng dư thức $x^{3}=1 mod(7) $->x=1,2,4
Với x=2,4 thì nó đẳng cấu nhau
Với x=1 thì là nhóm cylic Vậy là nhóm cấp 21 chỉ có hai nhóm sai khác đẳng cấu F(3,7) và C(21)
Đó là hai nhóm $F(3,7)=<a^{7}=b^{3}=1,bab^{-1}=a^{2}> $
Và $C(21)=<a,a^{21}=1> $
Nhóm cấp 10 cũng tương tự đó là
$D(5)=F(2,5)=<a^{5}=b^{2}=1,bab^{-1}=a^{4}=a^{-1}> $
Và $C(10)=<a,a^{10}=1> $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi zinxinh

$b^{3}ab^{-3}=a^{x^{3}}->a=a^{x^{3}} $.

Chỗ này là như thế nào anh nhỉ?

Bài nhóm cấp 15 em có viết lời giải ở đây, ta tham khảo lại vậy

Nguyên văn bởi 99

Giả sử G là nhóm cấp 15. Khi đó nó có một nhóm con Sylow cấp 5 (do đó là cyclic), ký hiệu là $C_5 $ và $C_5\lhd G $. Nó cũng có một nhóm con Sylow cấp 3 khác là $C_3 $.

Số nhóm con liên hợp với $C_3 $ là chỉ số $[G : N_{C_3}] $ , $N_{C_3} $ là nhóm con chuẩn hóa của $C_3 $ trong $G $. Do đó số nhóm con này là 1 hoặc 5. Theo định lý Sylow thì số nhóm Sylow đồng dư 1 mod 3, nên số nhóm con liên hợp với $C_3 $ là 1. Do đó $C_3 $ là nhóm con chuẩn tắc của $G $.

Vậy G đẳng cấu với $C_3\times C_5 $ nên là nhóm cyclic.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

Một định lý khá thú vị là nhóm $p^{n},0\leq n\leq 4 $.Thì tất sẽ có nhóm con abel chỉ số p là nhóm abel

Nếu n=1 là dĩ nhiên đúng rồi!Giả sử $2\leq n\leq 4 $
$Z(G) $ chứa nhóm K cấp $p^{n-2} $ thì có thể tìm nhóm con H là nhóm con G sao cho $H\leq K\leq G $.Mà $|H|=p^{n-1} $.Sao cho $K\leq Z(H) $.H/Z(H) không thể chỉ số p,nghĩa là
Z(H)=H.Mà vậy là G chứa nhóm abel chỉ số p
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi zinxinh

Một định lý khá thú vị là nhóm $p^{n},0\leq n\leq 4 $.Thì tất sẽ có nhóm con abel chỉ số p là nhóm abel

Nếu n=1 là dĩ nhiên đúng rồi!Giả sử $2\leq n\leq 4 $
$Z(G) $ chứa nhóm K cấp $p^{n-2} $ thì có thể tìm nhóm con H là nhóm con G sao cho $H\leq K\leq G $.Mà $|H|=p^{n-1} $.Sao cho $K\leq Z(H) $.H/Z(H) không thể chỉ số p,nghĩa là Z
(H)=H.Mà vậy là G chứa nhóm abel chỉ số p

n=1,2,3 thì OK rồi, vì có định lý là : nhóm cấp $p^n $ luôn có nhóm con chuẩn tắc cấp $p^r $ với $r\leq n $. Mà các nhóm cấp $p $ và $p^2 $ đều là nhóm abel.

Câu chuyện là n=4 thì chứng minh thế nào? Em đọc bài của anh em vẫn chưa hiểu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

A)Chứng minh hai nhóm cấp 10 thỏa mãn quan hệ sau thì đẳng cấu
$A=<a^{5}=b^{2}=1,bab^{-1}=a^{3}> $
$B=<a^{5}=b^{2}=1,bab^{-1}=a^{4}> $
Tìm biểu diễn tuyến tính của nhóm trên (Mỗi phần tử là một ma trân cấp 2)
b)Chứng minh hai nhóm cấp 21 thỏa mãn quan hệ sau thì đẳng cấu
$A=<a^{7}=b^{3}=1,bab^{-1}=a^{2}> $
$B=<a^{7}=b^{3}=1,bab^{-1}=a^{4}> $
Tìm biểu diễn tuyến tính của nhóm trên (Mỗi phần tử là một ma trân cấp 2)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Nguyên văn bởi 99

Chú lưu ý dùng từ : nên dùng từ "các" thay cho từ "bọn", với nhỏ hay lớn đều phải vậy. Chỉ có mình nói về bản thân mình mới được dùng từ đó thôi. OK?

Anh thông cảm. Em tự nhiên quá. Với lại ở quê em người ta hay nói thế từ bé em quen nên ko cần hỏi là xấu hay tốt nữa. Anh bảo mới giật mình nghĩ tới bọn cướp, tên trùm buôn lậu và đồng bọn .
Em thấy thắc mắc về cái bài cấp $15 $. Bài này chỉ là hệ quả của 1 bài nhóm cấp $pq $ em nói bên kia, có gì đâu nhỉ ? Sử dụng tính liên hợp của $p $-nhóm con Sylow thôi mà. Tuy nhiên em chưa đọc lời giải của anh zinxinh.
Thêm 1 bài nữa :
Một nhóm gọi là đầy đủ nếu nó có tâm không tầm thường và các tự đẳng cấu của nó là tự đẳng cấu trong. Chứng minh nhóm đối xứng cấp $n $ là đầy đủ nếu $n $ khác $2 $ và $6 $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi evarist

Em thấy thắc mắc về cái bài cấp $15 $. Bài này chỉ là hệ quả của 1 bài nhóm cấp $pq $ em nói bên kia, có gì đâu nhỉ ? Sử dụng tính liên hợp của $p $-nhóm con Sylow thôi mà. Tuy nhiên em chưa đọc lời giải của anh zinxinh.

Ừ, thì là hệ quả. Nhưng nếu vẫn đưa ra lời giải thì có sao đâu? Nhất là khi lời giải không sử dụng gì đến công thức lớp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]