Hạng của ma trận

kynamsp · 22-12-2011, 04:53 PM

đề bài:
Chứng minh rằng nếu A,B là ma trận cấp n cùng cở và $\ \ B^TA=0\ \ $ thì rank(A+B)=rank(A)+rank(B)

poochai · 23-12-2011, 12:32 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kynamsp

đề bài:
Chứng minh rằng nếu A,B là ma trận cấp n cùng cở và $\ \ B^TA=0\ \ $ thì rank(A+B)=rank(A)+rank(B)

anh kynamsp có thể sử dụng các kết quả về trực giao chứng minh xem sao.với tích vô hướng chính tắc

HVCN2004 · 23-12-2011, 10:01 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kynamsp

đề bài:
Chứng minh rằng nếu A,B là ma trận cấp n cùng cở và $\ \ B^TA=0\ \ $ thì rank(A+B)=rank(A)+rank(B)

Bài này mình cũng đã từng làm nhưng chưa ra kết quả. Bài này cảm giác như chưa chắc chắn ở chỗ nào đó. Nếu Kynamsp làm ra rồi thì bảo anh em với nhá

Mít đặc · 23-12-2011, 10:17 PM

Bài này với các MT thực thì có thể làm như thế này:

Không mất tq ta coi $A, B $ là các axtt từ kg Euclide chính tắc $R^n \mapsto R^n $, còn $B^t $ là liên hợp của $B $. Khi đó ta cần cm $ImA \cap ImB = 0 $.

Gs tồn tại một $y \in ImA \cap ImB $, $y \neq 0 $. Khi đó $y = Ax_1 = Bx_2 $, và ta có:

$0 < ||y||^2 = (Bx_2, Ax_1) = (x_2, {B^t}Ax_1) = (x_2, 0) = 0 $

Mâu thuẫn này cho ta đpcm.

PS: Tôi ko thích cách này lắm vì phải dùng đến tích vô hướng, do đó nếu MT với các phần tử trừu tượng thì không áp dụng được. Bạn nào có lời giải mạnh hơn thì post nhé.

tuan119 · 24-12-2011, 09:32 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kynamsp

đề bài:
Chứng minh rằng nếu A,B là ma trận cấp n cùng cở và $\ \ B^TA=0\ \ $ thì rank(A+B)=rank(A)+rank(B)

Cần bổ sung thêm $ \bf{AB^T}=0_n $ thì mới có được đẳng thức về hạng ở trên.

tuan119 · 25-12-2011, 06:40 PM

Nếu chỉ có điều kiện $\bf{B^TA}=0_n $ thì bài toán trên không đúng:

VD:

$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}; B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}; B^T=\begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}; $

thỏa:

$B^TA=\begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}=0_2 $

nhưng

$\bf{\text{rank} (A+B) \ne \text{rank} A+\text{rank} B} $.

Mít đặc · 02-01-2012, 10:25 PM

Đúng rồi, phần trên mình chới chỉ chứng minh được $dim(ImA + ImB) = rank(A) + rank(B) $, và ngộ nhận $r(A + B) = dim(ImA + ImB) $, trong khi hiển nhiên là $r(A + B) = dim[Im(A + B)] $ $\le $ $dim(ImA + ImB) $.

Bạn tuan19 có lời giải thì post lên nhé. Thực ra tôi bắt đầu nghi ngờ bài này, lí do post ở đây:
[Only registered and activated users can see links. ]

Constantine · 25-03-2012, 02:58 PM

đúng là không thể ra thật, đây cũng là câu 6 đề chọn đội tuyển vòng 2 ĐH Kinh tế Quốc dân 2010 và cũng chỉ có giả thiết $B^T.A=0 $, không hiểu nổi?

**Highschoolmath** · 25-03-2012, 05:13 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Constantine

đúng là không thể ra thật, đây cũng là câu 6 đề chọn đội tuyển vòng 2 ĐH Kinh tế Quốc dân 2010 và cũng chỉ có giả thiết $B^T.A=0 $, không hiểu nổi?

Bạn Constantine có đề các vòng của KTQD năm 2010 không thì up lên cho mọi người tham khảo với. Thanks bạn nhiều.

navibol · 25-03-2012, 05:52 PM

Em có một số đề này ạ.

Constantine · 26-03-2012, 11:14 PM

Ui cha, đây cũng là câu 3 đề chọn đội tuyển ĐHKHTN - ĐHQGHN bạn navibol mới đưa lên, cũng chỉ với giả thiết $B^T.A=0 $. Vậy chắc chắn là chỉ với giả thiết đó là đủ để giải bài này. Không thể có chuyện cả hai trường này nhầm lẫn đâu, nhưng loay hoay mãi k ra được lời giải.

22-12-2011, 04:53 PM	#1
kynamsp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 135 Thanks: 78 Thanked 65 Times in 40 Posts	Hạng của ma trận đề bài: Chứng minh rằng nếu A,B là ma trận cấp n cùng cở và $\ \ B^TA=0\ \ $ thì rank(A+B)=rank(A)+rank(B)

23-12-2011, 10:17 PM	#4
Mít đặc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Bài gởi: 96 Thanks: 10 Thanked 37 Times in 22 Posts	Bài này với các MT thực thì có thể làm như thế này: Không mất tq ta coi $A, B $ là các axtt từ kg Euclide chính tắc $R^n \mapsto R^n $, còn $B^t $ là liên hợp của $B $. Khi đó ta cần cm $ImA \cap ImB = 0 $. Gs tồn tại một $y \in ImA \cap ImB $, $y \neq 0 $. Khi đó $y = Ax_1 = Bx_2 $, và ta có: $0 < \|\|y\|\|^2 = (Bx_2, Ax_1) = (x_2, {B^t}Ax_1) = (x_2, 0) = 0 $ Mâu thuẫn này cho ta đpcm. PS: Tôi ko thích cách này lắm vì phải dùng đến tích vô hướng, do đó nếu MT với các phần tử trừu tượng thì không áp dụng được. Bạn nào có lời giải mạnh hơn thì post nhé. __________________ Đang học xác suất thay đổi nội dung bởi: Mít đặc, 23-12-2011 lúc 10:41 PM

25-12-2011, 06:40 PM	#6
tuan119 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts	Nếu chỉ có điều kiện $\bf{B^TA}=0_n $ thì bài toán trên không đúng: VD: $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}; B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}; B^T=\begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}; $ thỏa: $B^TA=\begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}=0_2 $ nhưng $\bf{\text{rank} (A+B) \ne \text{rank} A+\text{rank} B} $. __________________ $\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________

02-01-2012, 10:25 PM	#7
Mít đặc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Bài gởi: 96 Thanks: 10 Thanked 37 Times in 22 Posts	Đúng rồi, phần trên mình chới chỉ chứng minh được $dim(ImA + ImB) = rank(A) + rank(B) $, và ngộ nhận $r(A + B) = dim(ImA + ImB) $, trong khi hiển nhiên là $r(A + B) = dim[Im(A + B)] $ $\le $ $dim(ImA + ImB) $. Bạn tuan19 có lời giải thì post lên nhé. Thực ra tôi bắt đầu nghi ngờ bài này, lí do post ở đây: [Only registered and activated users can see links. ] __________________ Đang học xác suất thay đổi nội dung bởi: Mít đặc, 02-01-2012 lúc 10:50 PM

25-03-2012, 02:58 PM	#8
Constantine +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 10 Thanks: 6 Thanked 3 Times in 2 Posts	đúng là không thể ra thật, đây cũng là câu 6 đề chọn đội tuyển vòng 2 ĐH Kinh tế Quốc dân 2010 và cũng chỉ có giả thiết $B^T.A=0 $, không hiểu nổi?

26-03-2012, 11:14 PM	#11
Constantine +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 10 Thanks: 6 Thanked 3 Times in 2 Posts	Ui cha, đây cũng là câu 3 đề chọn đội tuyển ĐHKHTN - ĐHQGHN bạn navibol mới đưa lên, cũng chỉ với giả thiết $B^T.A=0 $. Vậy chắc chắn là chỉ với giả thiết đó là đủ để giải bài này. Không thể có chuyện cả hai trường này nhầm lẫn đâu, nhưng loay hoay mãi k ra được lời giải.