Kỳ thi chọn HSGQG môn Toán 2015 - Đề thi

[huynhcongbang]

Vậy là chỉ còn vài giờ nữa, kỳ thi HSGQG môn Toán lần thứ 56 sẽ diễn ra với sự tham gia của trên dưới 70 đội tuyển tỉnh/TP, khối chuyên của cả nước.

Năm nay kỳ thi tổ chức trễ hơn vài ngày so với năm trước, từ ngày 3-4-5/01 đổi thành 8-9-10/01, nhưng nghỉ Tết âm lịch trễ hơn nên kết quả chắc cũng sẽ có trước khi các thí sinh nghỉ Tết, không phải chờ đợi quá lâu.

Năm 2014 vừa rồi, đặc biệt là giai đoạn cuối năm cho thấy hoạt động của các diễn đàn, trong đó có mathscope, chưa thực sự sôi nổi lắm. Có lẽ vì phần đông các thành viên chuyển sang thảo luận trên các group trên facebook với nhiều tiện ích hơn. Tuy vậy, mình vẫn mong muốn "đến hẹn lại lên", các cựu thành viên từng gắn bó với diễn đàn, các học sinh trực tiếp tham gia vào kỳ thi năm nay sẽ vẫn lên chia sẻ đề thi, lời giải, các nhận xét, thảo luận trên đây, thông qua đó có thể tổng hợp lại thành một tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên như đã từng làm các năm trước.

Không có thông tin gì trong việc thay đổi cấu trúc, nội dung, tức là chúng ta vẫn có 2 ngày thi: ngày 1 có 4 bài, mỗi bài 5 điểm và ngày 2 có 3 bài với số điểm phân bố là 6-7-7. Đề thi sẽ vẫn chắc chắn có 1 câu giải tích, 1 câu số học, còn lại 5 câu thì: đại số, hình học, tổ hợp sẽ có tỉ lệ 1:2:2, 2:1:2 hoặc 2:2:1. Tuy nhiên, năm nay Bộ GD-ĐT có nhiều thay đổi trong cách tổ chức thi cử, ra đề cho các kỳ thi QG khác nên vẫn chưa biết chính xác chuyện gì sẽ xảy ra vào ngày mai. Nói chung cho dù thế nào thì vẫn hứa hẹn rằng chúng ta sẽ có một kỳ thi thú vị, mang tính chuyên môn cao và thử thách nhất định cho tất cả các đội tuyển.

Trong năm trước, 14.5 điểm là có giải khuyến khích, 18 điểm là giải ba, 24 điểm là có giải nhì và có đến 7 thí sinh được giải Nhất, trong đó, 47 học sinh được từ 24.75 điểm trở lên được tham gia thi vòng 2. Cùng với 2 học sinh trong đội dự tuyển năm trước, các học sinh đã có cùng nhau thử sức và chọn được 6 học sinh cho đội tuyển IMO. Tháng 7 vừa qua, kỳ thi IMO 2014 tại Nam Phi với 3 HCV, 2 HCB, 1 HCĐ đảm bảo thứ hạng 10 của đoàn Việt Nam trên trường quốc tế đã tạo động lực to lớn cho các thầy trò của nhiều đội tuyển vẫn ngày đêm miệt mài ôn luyện.

Như các năm trước, mình xin phép lập topic này để gửi nội dung đề thi VMO 2015 của 2 ngày. Các topic chia nhỏ để thảo luận về từng bài sẽ được các mod của diễn đàn tạo khi ngày 1 của kỳ thi kết thúc. Thảo luận về kỳ thi này thì mọi người có thể gửi tại đây.

Xin chúc các bạn thí sinh có một kỳ thi thành công, thể hiện tốt nhất năng lực của mình với tâm lý thoải mái, ổn định nhất để giành về cho mình, cho gia đình và thầy cô thành tích thật xứng đáng!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Ủng hộ Lê Phúc Lữ.

Rất đồng ý với phân tích của Lữ về nguyên nhân tại sao MS vắng vẻ hơn. FB nhanh hơn, có nhiều tiện ích. Nhưng thảo luận về toán hay nhất và dễ đọc nhất vẫn là trên các diễn đàn như MS.

Chúng ta cùng chờ đề thi ngày 1 nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Đây là đề thi ngày 1 lấy từ facebook của bạn Trung ở Long An. Mọi người xem thử nhé, mình sẽ gõ lại cho rõ sau.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Một số cách tiếp cận Đề ngày 1 VMO 2015:
Câu 2.
Ý đầu tương đương $ \sum \sqrt{ab} \le \sum a.$
Ý sau tương đương $(a+b+c)(\sum \sqrt{ab}) \ge 4(ab+bc+bc)-a^2-b^2-c^2.$
Áp dụng BĐT $\sum \sqrt{ab} \ge \sum \dfrac{2ab}{a+b}$ ta được $$VT \ge (a+b+c)(\sum \dfrac{2ab}{a+b}) =2(ab+bc+ca)+2abc(\sum \dfrac{1}{a+b})$$
$\ge 2(ab+bc+ca)+\dfrac{9abc}{a+b+c} \ge VP$ (theo Schur), Ä‘pcm.
Ý này ta có thể đổi biến để dùng Schur bậc 4.
Câu 1a. Làm bình thường được dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1, giới hạn = 1.
Câu 3a. Mấu chốt là dùng góc để chứng minh song song:

Câu 3b. Mấu chốt là vẽ hình đúng để phát hiện ra 3 đường sau đồng quy là sẽ giải được, đoạn sau cộng góc là ra $TM, TN$ đẳng giác.

Câu 1b. Ta sẽ mạnh dạn kẹp $u_n (a=0) \ge u_n \ge 1- \dfrac{k}{n}$ với $k$ dương mà ta sẽ tìm sau để dùng nguyên lý kẹp sẽ có $u_n$ có giới hạn và $u_n \to 1.$
Thật vậy, ta cần tìm $k$ sao cho với mọi $a \in [0;1]$ và $n \in \mathbb{N^{*}}$ thì $$\dfrac{1-\dfrac{k}{2}}{2}+\dfrac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{3+(1-\dfrac{k}{n})^2} \ge 1-\dfrac{k}{n+1}$$
$$ \leftrightarrow \dfrac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{3+(1-\dfrac{k}{n})^2} \ge \dfrac{n^2-2kn+n+k}{2n(n+1)}.$$
Do $a \in [0;1]$ nên ta cần tìm $k$ sao cho $\dfrac{n^2}{4n^2+1}\sqrt{3+(1-\dfrac{k}{n})^2} \ge \dfrac{n^2-2kn+n+k}{2n(n+1)}$ là đủ.
Thử giá trị đẹp nhất của $k$ là $k=1,$ thì BĐT trên tương đương với $$f(n)=56n^7-52n^6+48n^5-37n^4+18n^3-11n^2+2n-1 \ge 0.$$
Điều này hiển nhiên đúng do $n \ge 1.$
Bài toán được giải quyết hoàn toàn.
Câu 3. Tổng hệ số dạng $a_{3i}$ trong khai triển $(1+x+x^2+x^5)^k,$ dùng RUF.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vantienducdh]

Đề đúng rồi, câu BĐT 1 ý tương đương $ \sum \sqrt{ab} \le \sum a.$
------------------------------
Ý sau dùng $\sum \sqrt{ab} \ge \sum \dfrac{2ab}{a+b}$ rồi dùng $\sum \dfrac{1}{x} \ge \dfrac{9}{\sum x}$ kết hợp Schur là ra.

ý sau dùng dồn biến được không thầy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[analysis90]

Bài toán đếm dùng hàm sinh và số phức.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nhìn câu tổ hợp mà mình muốn khóc, tại sao đề thi HSG mà lại ra cái câu như thế này ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungtrann]

Câu tổ hợp dùng truy hồi được không mọi người
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Câu tổ hợp dùng truy hồi được không mọi người

Được bạn. Hình như có thể chia thành 2 dãy, $a_n$ chia hết cho 3 và $b_n$ không chia hết cho 3. Công thức truy hồi cũng không khó tính.
Từ cách gọi dãy như mình ở trên, ta được 2 công thức:
$a_{n+1}=a_n+3b_n$ và $a_n+b_n=4^n$.
Đến đây thì dễ rồi.
P/s: cách làm của mình bị nhầm 1 tí, vì dãy không chia hết cho 3 có thể chia 3 dư 2 hoặc dư 1.
Nếu gọi là 3 dãy $a_n, b_n, c_n$ thỏa dãy $a_n$ là tập các số chia hết cho 3, $b_n$ chia 3 dư 1 và $c_n$ chia 3 dư 2. Như thế, ta sẽ có các công thức:
$a_{n+1}==2a_n+b_n+c_n \\
b_{n+1}=a_n+b_n+2c_n \\
a_n+b_n+c_n=4^n$.
Từ đây tính không khó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lupanh7]

Bài 3 làm truy hồi cũng không khó lắm
Kết quả là:
$\frac{4^K-1}{3}+1$ nếu K chia hết cho 3
$\frac{4^K-1}{3}$ nếu K không chia hết cho 3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyen Van Linh]

Câu b bài hình:
Xét trục đẳng phương cho $(I)$, đường tròn đường kính $BC$ và $(BHC)$ suy ra $EF, PQ, BC$ đông quy tại $K$. Kẻ tiếp tuyến $KT$ tới $(O)$.
Ta có $KM.KN=KP.KQ=KB.KC=KT^2$ nên $(TPQ)$ tiếp xúc với $(O)$, $(TMN)$ tiếp xúc với $(O).$
Ta có $\angle BTM=\angle KTM-\angle KTB=\angle TNM-\angle TCN=\angle NTC$. Suy ra $TM,TN$ đẳng giác trong $\angle BTC$ hay phân giác $MTN$ đi qua trung điểm cung $BC$ không chứa $A.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Gửi mọi người đề thi ngày 1, bản PDF đọc cho rõ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[haojack123]

Vì $n\le {{10}^{k}}$ nên suy ra $n=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{k}}}$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}.$
Ta có $n\vdots 3\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{k}}\vdots 3.$
Gọi ${{A}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right).}$
Gọi ${{B}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 2\left( \bmod 3 \right).}$
Gọi ${{C}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 0\left( \bmod 3 \right).}$
Ứng với một tập con của ${{C}_{k}}$ thì ta được một số tự nhiên $n$ thoả mãn bài toán.
Khi đó số các số tự nhiên cần tìm là ${{C}_{k}}.$
Ngoài ra ta có: ${{A}_{1}}=1,{{A}_{2}}=4,{{B}_{1}}=2,{{B}_{2}}=4,{ {C}_{1}}=1,{{C}_{2}}=4.$
Lại có: \[\left\{ \begin{align}
& {{C}_{k}}=2{{A}_{k-1}}+{{B}_{k-1}}+{{C}_{k-1}} \\
& {{A}_{k}}={{A}_{k-1}}+2{{B}_{k-1}}+{{C}_{k-1}} \\
& {{B}_{k}}={{A}_{k-1}}+{{B}_{k-1}}+2{{C}_{k-1}} \\
\end{align} \right.\]
Suy ra: \[{{C}_{k}}={{C}_{k-3}}+3\left( {{4}^{k-2}}+{{4}^{k-3}}+{{4}^{k-4}} \right)\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tarantallegra]

Có ai giải ý a bài 1 bằng Lagrange không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlackSelena]

Câu a bài hình chỉ cần chú ý với mọi $(I)$, nếu gọi giao điểm của $(I)$ với $BE, CF$ là $X,Y$ thì có $XY \parallel BC$.
Câu b mình làm không khác mấy anh LTL ở trên.
P/s: ai làm câu b bài dãy đi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]