Các bất đẳng thức về đường phân giác và những yếu tố liên quan.

[Unknowing]

[QUOTE=Minh Tuấn;22160]

Nguyên văn bởi Minh Tuấn

Bài 4: CMR:$l_a+l_b+l_c\leq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c) $

:

áp dụng công thức :

$l_{a}=\frac{2bc.cos\frac{A}{2}}{b+c}=\frac{2\sqrt{ bc}}{b+c}.\sqrt{p(p-a)}\leq \sqrt{p(p-a)} $
tương tự suy ra
$2(l_a+l_b+l_c)\leq 2\sqrt{p}\left ( \sqrt{p-a} \right+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c} ) $
mà theo bđt bunhia ta có
$ \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\leq \sqrt{3p} $
suy ra điều cần cm

___________________________________________
Bài 5: CMR:$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_a+l_c} {b}\leq 3\sqrt{3} $
áp dụng bđt
$l_a=\frac{2bccos\frac{A}{2}}{b+c} $..
ta đưa bất đẳng thức về dạng
$\sum cos \frac{A}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2} $=>đccm
____________________________________________

Bài 19:CMR:$l_a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+l_b(\frac{1}{a}+\frac {1}{c})+l_c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\leq 3\sqrt{3} $
ta áp dụng

$l_a=\frac{2bccos\frac{A}{2}}{b+c} $

nên có đc điều dưới
$\sum l_a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=2\left ( cos\frac{A}{2} +cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}\right ) $
suy ra điều ccm lại trỡ vế dạng
$\sum cos \frac{A}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2} $=>đccm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Bài 27:CMR:$4(l_a^2+l_b^2+l_c^2)\geq 4(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) $

BDT sẽ được chứng minh nếu BDT sau được CM

$l_a^2 \geq \frac{4bc-a^2}{4} $
Thật vậy ,
từ công thức :
$ l_a^2=\frac{4bc}{b+c} .p(p-a) $
$=> l_a^2 = bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2} \geq bc-\frac{a^2}{4} $

BDT được chứng minh
------------------------------
Bài 10: CMR:$l_al_bl_c\leq abccos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) $


có đánh giá cơ bản sau

$l_a=\frac{2bc}{b+c}.cos{\frac{A}{2}} \leq \sqrt{bc}.cos{\frac{A}{2}} $
làm các BDT tương tự rồi nhân với nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]