Một bài Rusia 2001

[congtuanqt]

Cho hai số $a,b $ phân biệt và $ab(a+b) $ chia hết cho $a^2+ba+b^2 $. Chứng minh : $|a-b|\geq \sqrt[3]{ab} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Lời giải trên Mathlinks.ro //http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=466234689&t=18698
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dlt5]

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Lời giải trên Mathlinks.ro //http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=466234689&t=18698

Bác admin ơi không nên dẫn link
Đây là lời giải:
Gọi $d=(a,b) $.Khi đó $a=dx,b=dy ;(x,y)=1 $
gt$\rightarrow \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+y^2 +xy} $ là số nguyên
Lại có : $(x^2+xy+y^2,x)=(y^2,x)=1 $
Tương tự $(x^2+xy+y^2,y)=1 $
Ta thấy $(x^2+xy+y^2,x+y)=(y^2,x+y)=1 $
Suy ra $x^2+xy+y^2\mid d $
$\rightarro d\geq x^2+xy+y^2 $
${\mid a-b \mid }^3=|d(x-y)^3|=d^2|x-y|^3.d
\geq d^2.1.(x^2+xy+y^2) \geq d^2.xy=ab $
đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]