Có thể vét hết nghiệm của pt này .

thaithuan_GC · 25-11-2007, 05:10 PM

Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của pt :
$x^2+y^2+1=kxy $
$k \in Z $

**psquang_pbc** · 25-11-2007, 06:55 PM

Một bài quen thuộc là chứng minh $k=3 $, còn nghiệm tổng quát của PT

$x^2+y^2+1=3xy $

là $(F_{2n-1},F_{2n+1}) $ với $F_k $ là số Fibonaci thứ $k $

Chứng minh k=3 dùng Viet và cực hạn

Chứng minh nghiệm dùng Pell và quy nạp

Các bạn làm thử xem nhé, nếu kô mình sẽ post lời giải bằng cách edit post này

dong1919 · 25-11-2007, 08:26 PM

C/m k=3 có thể dựa vào gọi (x,y) là bộ nghiệm thòa mãn $ x \ge y $ và $ x+y min $ rồi sau xài vi-ét chỉ ra có nghiêm $ x_2 $ nữa =>$ x_2 \ge x $ và $ x+x_2=ky $
$ x.x_2=y^2+1 $
SD $ (x-1)(x_2-1) \ge y^2 $
Còn vét nghiệm thì xài delta coi $ x^2+y^2+1-3xy=0 $ như 1 pt ẩn x bậc 2

25-11-2007, 05:10 PM	#1
thaithuan_GC +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 175 Thanks: 12 Thanked 23 Times in 10 Posts	Có thể vét hết nghiệm của pt này . Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của pt : $x^2+y^2+1=kxy $ $k \in Z $

25-11-2007, 06:55 PM	#2
psquang_pbc +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 747 Thanks: 9 Thanked 111 Times in 72 Posts	Một bài quen thuộc là chứng minh $k=3 $, còn nghiệm tổng quát của PT $x^2+y^2+1=3xy $ là $(F_{2n-1},F_{2n+1}) $ với $F_k $ là số Fibonaci thứ $k $ Chứng minh k=3 dùng Viet và cực hạn Chứng minh nghiệm dùng Pell và quy nạp Các bạn làm thử xem nhé, nếu kô mình sẽ post lời giải bằng cách edit post này __________________ [Only registered and activated users can see links. ] No pain, no gain! thay đổi nội dung bởi: psquang_pbc, 26-11-2007 lúc 12:34 PM

25-11-2007, 08:26 PM	#3
dong1919 Sư tổ Kim Dung-CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: A1K35PBC-Nghệ An Bài gởi: 291 Thanks: 0 Thanked 33 Times in 23 Posts	C/m k=3 có thể dựa vào gọi (x,y) là bộ nghiệm thòa mãn $ x \ge y $ và $ x+y min $ rồi sau xài vi-ét chỉ ra có nghiêm $ x_2 $ nữa =>$ x_2 \ge x $ và $ x+x_2=ky $ $ x.x_2=y^2+1 $ SD $ (x-1)(x_2-1) \ge y^2 $ Còn vét nghiệm thì xài delta coi $ x^2+y^2+1-3xy=0 $ như 1 pt ẩn x bậc 2