Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Logic, Tập Hợp, Toán Rời Rạc

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-12-2011, 08:42 PM   #1
simplekolor
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Bài gởi: 25
Thanks: 3
Thanked 5 Times in 5 Posts
Một số bài toán về quan hệ và ánh xạ

1/ Cho $ n $ là số nguyên dương và $f: N \longrightarrow N $ là ánh xạ xác định bởi $f(k)=n-k $ nếu $k < n $ và $f(k) = n+k $ nếu $ k \geq n $. Hỏi $f $có toàn ánh không? Có đơn ánh không?

2/ Cho $f: R \longrightarrow Z $ là ánh xạ xác định bởi $f(x)= [x] +1 $ và $\Re $ là một quan hệ hai ngôi trong $R $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) \mid f(y) $. Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là quan hệ thứ tự không?

3/ Cho $f: R \longrightarrow Z $ là ánh xạ xác định bởi $f(x)= [x] +1 $ và $\Re $ là một quan hệ hai ngôi trong $R $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) = f(y) $. Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là quan hệ thứ tự không?

4/ Cho $f: N \longrightarrow N $ là ánh xạ xác định bởi $f(x) = 2x $ và $\Re $ là quan hệ hai ngôi trong $N $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) \mid f(y) $ . Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là thứ tự không?

5/ Cho $A $ là một tập bất kì và $f: A \longrightarrow P(A) $ với $P(A) $ là tập gồm tất cả các tập con của $A $. Cho $f $ là đơn ánh, $\Re $ là quan hệ hai ngôi trong $A $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) \cap f(y) = f(x) $. Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là quan hệ thứ tự không?

6/ Cho $A $ là một tập bất kì và $f: A \longrightarrow P(A) $ với $P(A) $ là tập gồm tất cả các tập con của $A $. Cho $f $ là đơn ánh, $\Re $ là quan hệ hai ngôi trong $A $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) \setminus f(y) = f(x) $. Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là quan hệ thứ tự không? Nếu là quan hệ thứ tự thì là quan hệ thứ tự toàn phần hay không toàn phần?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 28-12-2011 lúc 08:43 PM Lý do: Tiêu đề
simplekolor is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2011, 06:53 AM   #2
tr.phuoctoan
+Thành Viên+
 
tr.phuoctoan's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Bài gởi: 36
Thanks: 10
Thanked 7 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi simplekolor View Post
1/ Cho $ n $ là số nguyên dương và $f: N \longrightarrow N $ là ánh xạ xác định bởi $f(k)=n-k $ nếu $k < n $ và $f(k) = n+k $ nếu $ k \geq n $. Hỏi $f $có toàn ánh không? Có đơn ánh không?
1) $f(k_1) = f(k_2)\Rightarrow k_1=k_2 $
Thật vậy, nếu $k_1; k_2 < n $ hoặc $k_1; k_2 \geq n $ thì dễ thấy $k_1=k_2 $. Với $k_1 \geq n; k_2 < n $ hoặc $k_1 <n; k_2 \geq n $thì suy ra $k_1=-k_2 $ Mà $f: N \longrightarrow N $ dẫn đến điều vô lý.
Vậy $f: N \longrightarrow N $ là đơn ánh
2) $\forall y=f(k)\in \mathbb{N} $, ta luôn xác định được $k=\left | f(k)-n \right | $
Vậy $f: N \longrightarrow N $ là toàn ánh
Trích:
Nguyên văn bởi simplekolor View Post
2/ Cho $f: R \longrightarrow Z $ là ánh xạ xác định bởi $f(x)= [x] +1 $ và $\Re $ là một quan hệ hai ngôi trong $R $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) \mid f(y) $. Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là quan hệ thứ tự không?
$\forall x;y;z \in R $
1. $f(x) \mid f(x)\Rightarrow x\Re x $ : Tính phản xạ
2. Với $x = 2,1; y = 8,2 \Rightarrow f(x) = 3; f(y) = 9 \Rightarrow x \Re y $ Nhưng không tồn tại $y \Re x $ : Không có tính đối xứng.
3.Với $x \Re y $ và $y \Re x $. Do đó $f(x)=f(y) \Rightarrow [x]= [y] $. Không thể kết luận $x=y $ : Không có tính phản xứng.
Vậy quan hệ $\Re $ không phải là quan hệ tương đương, cũng không phải là quan hệ thứ tự.
Trích:
Nguyên văn bởi simplekolor View Post
3/ Cho $f: R \longrightarrow Z $ là ánh xạ xác định bởi $f(x)= [x] +1 $ và $\Re $ là một quan hệ hai ngôi trong $R $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) = f(y) $. Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là quan hệ thứ tự không?
$\forall x;y;z \in R $
1. $f(x) = f(x)\Rightarrow x\Re x $ : Tính phản xạ
2. $x \Re y \Rightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow f(y)= f(x) \Rightarrow y \Re x $ : Tính đối xứng
3. Với $x= 2,3; y = 2,4 \Rightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x \Re y ; y \Re x $ : Không có tính phản xứng
4. Với $x \Re y ; y\Re z \Rightarrow f(x)=f(y)=f(z) \Rightarrow x\Re z $ : Tính bắc cầu
Vậy quan hệ $\Re $ là quan hệ tương đương.

Trích:
Nguyên văn bởi simplekolor View Post
4/ Cho $f: N \longrightarrow N $ là ánh xạ xác định bởi $f(x) = 2x $ và $\Re $ là quan hệ hai ngôi trong $N $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) \mid f(y) $ . Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là thứ tự không?
Chứng minh tương tự, quan hệ $\Re $ là quan hệ thứ tự
Trích:
Nguyên văn bởi simplekolor View Post
5/ Cho $A $ là một tập bất kì và $f: A \longrightarrow P(A) $ với $P(A) $ là tập gồm tất cả các tập con của $A $. Cho $f $ là đơn ánh, $\Re $ là quan hệ hai ngôi trong $A $ xác định bởi $x \Re y $ khi và chỉ khi $f(x) \cap f(y) = f(x) $. Hỏi $\Re $ có phải là quan hệ tương đương không? Có phải là quan hệ thứ tự không?
$\forall x,y,z \in A $
1. $f(x) \cap f(x) = f(x) \Rightarrow x \Re x $ : Tính phản xạ
2. $x \Re y \Rightarrow f(x) \cap f(y) = f(x) \Rightarrow f(x) \subset f(y) $ Do đó không thể kết luận $ f(y) \cap f(x) = f(y) $ : Không có tính phản xạ
3. $x \Re y ; y\Re x \Rightarrow f(x) \cap f(y) = f(x); f(x) \cap f(y) = f(y) \Rightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y $ Vì ánh xạ $f $ là đơn ánh
4. $x \Re y ; y \Re x \rightarrow f(x) \subset f(y) \subset f(z) \Rightarrow f(x) \cap f(z) = f(x) \Rightarrow x \Re z $ : Tính bắc cầu.
Vậy quan hệ $\Re $ là quan hệ thứ tự.

Bài 6 thì hình như quan hệ $\Re $ không có tính phản xạ thì phải ???
Bạn xem đúng hay sai nhé, mình không chắc đầu, mình cũng mới học thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: tr.phuoctoan, 29-12-2011 lúc 08:23 AM
tr.phuoctoan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:17 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 48.64 k/52.75 k (7.79%)]